以尤拉公式推導正弦、餘弦以及正切的和差角公式

作者： Danny Yang

Derivation of the Sum Difference Identities in Trigonometry Using Euler's Formula

正弦、餘弦以及正切的和差角公式如下：


$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin  \alpha\cos  \beta \pm \cos \alpha \sin \beta $
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha\cos \beta \mp \sin \alpha\ sin\; \beta$
$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha\; \pm \tan\; \beta}{1 \;\mp \tan  \alpha \tan \beta}$


推導：

由尤拉公式
$$e^{ix}= \cos x+i \sin x$$
可知
$$e^{i(\alpha \pm \beta) }= \cos (\alpha \pm \beta) + i \sin (\alpha \pm \beta)$$
亦即
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \cos (\alpha \pm \beta) = Re\left \{e^{i(\alpha \pm \beta) }\right \}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$
且
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \sin (\alpha \pm \beta) = Im \left  \{e^{i(\alpha \pm \beta) }\right \}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$

其中 $Re\{Z\}$ 表示複數 $Z$ 的實部 (Real Part)，$Im \{Z\}$ 則表示複數 $Z$ 的虛部 (Imaginary Part)。

又
$$e^{i(\alpha \pm \beta) }= e^{i\alpha}\; e^{\pm i\beta}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=(\cos \alpha + i \sin \alpha )(\cos \beta \pm i \sin \beta)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\cos  \alpha \cos  \beta \mp \sin \alpha \sin\; \beta + i (\sin  \alpha \cos  \beta \pm  \cos  \alpha \sin \beta)$$
綜合上式、式子 (1) 與式子 (2) 可知
$$\cos (\alpha \pm \beta) = Re \left \{e^{i(\alpha \pm \beta) }\right \}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\cos \alpha\cos \beta \mp  \sin \alpha \sin  \beta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$
且
$$\sin (\alpha \pm \beta) = Im \left \{e^{i(\alpha \pm \beta) }\right \}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\sin  \alpha\cos \beta \pm  \cos \alpha\sin \beta \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$
又已知
$$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\sin (\alpha \pm \beta)}{\cos (\alpha \pm \beta)}$$
將式子 (3) 與 式子 (4) 代入上式，可得
$$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\sin  \alpha\cos  \beta \pm \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta \mp  \sin  \alpha \sin \beta}$$
再將上式的分子與分母同除以 $\cos \alpha\cos \beta$，即可得
$$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha\tan  \beta}$$


應用範例一：設 $\alpha$，$\beta$ 均為銳角，且已知 $\sin \alpha =\frac{12}{13}$，$\cos  \beta =\frac{3}{5}$，則 $\cos (\alpha - \beta)$ 之值為何？

解：
$\sin  \alpha =\frac{12}{13}$，$\cos \beta =\frac{3}{5}$，則 $\cos \alpha = \frac{5}{13}$，$\sin \beta =\frac{4}{5}$，所以
$$\cos (\alpha - \beta)=\cos  \alpha \cos \beta + \sin \alpha\sin \beta $$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \frac{5}{13}\times \frac{3}{5}+\frac{12}{13}\times \frac{4}{5}$$
$$=\frac{63}{65}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

■

根據上面的和差角公式，很容易就能找出正弦、餘弦以及正切的二倍角公式如下：


$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta $
$\cos 2\theta=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta=2\cos^2 \theta-1=1-2\sin^2 \theta$
$\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$


推導：
$$\sin 2 \theta = \sin(\theta + \theta)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$ \;\;\;\;\;\;= \sin \theta \cos \theta + \cos \theta \sin \theta$$
$$= 2\sin \theta \cos \theta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$ \cos 2 \theta = \cos(\theta + \theta) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$ \;\;\;\;\;\;= \cos \theta\cos \theta - \sin \theta \sin \theta$$
$$=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;=(1-\sin^2 \theta)-\sin^2 \theta$$
$$\;\;=1-2\sin^2 \theta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=1-2(1-\cos^2 \theta)\;$$
$$\;\;=2\cos^2 \theta -1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\tan(2\theta)=\tan(\theta+\theta)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=\frac{\tan \theta+\tan \theta}{1-\tan \theta \tan \theta}\;\;\;\;$$
$$=\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$


應用範例二：$f(x)=\cos^2 2x-2\sin^2 x+2 $ 的極小值為何？

解：
$$f(x)=\cos^2 2x-2\sin^2 x +2 $$
已知 
$$\cos 2 x=1-2\sin^2 x$$
可知
$$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$
即 
$$\;f(x)=\cos^2 2x-2 \left ( \frac{1-\cos 2x}{2}\right )+2$$
$$=\cos^2 2x+\cos 2x+1\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=\left (\cos 2x+\frac{1}{2}\right )^2+\frac{3}{4}\;\;\;\;\;\;$$
所以，當 $\cos 2x=-\frac{1}{2}$ 時，$f(x)$ 有極小值 $\frac{3}{4}$。




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