以尤拉公式推導正弦、餘弦以及正切的和差角公式

正弦、餘弦以及正切的和差角公式如下：

$sin(\alpha \pm \beta) = sin \alpha cos \beta \pm cos \alpha sin \beta $

$cos(\alpha \pm \beta) = cos \alpha cos \beta \mp sin \alpha sin \beta$

$tan(\alpha \pm \beta) = \frac{tan \alpha \pm tan \beta}{1 \mp tan \alpha tan \beta}$

推導：

由尤拉公式

$$e^{ix}= cos x+i sin x$$

可知

$$e^{i(\alpha \pm \beta) }= cos (\alpha \pm \beta) + i sin (\alpha \pm \beta)$$

亦即

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; cos (\alpha \pm \beta) = Re \{e^{i(\alpha \pm \beta) }\}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

且

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; sin (\alpha \pm \beta) = Im  \{e^{i(\alpha \pm \beta) }\}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$

其中 $Re\{Z\}$ 表示複數 $Z$ 的實部 (Real Part)，$Im \{Z\}$ 則表示複數 $Z$ 的虛部 (Imaginary Part)。

又

$$e^{i(\alpha \pm \beta) }= e^{i\alpha}\; e^{\pm i\beta}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;=(cos \alpha + i sin \alpha )(cos \beta \pm i sin \beta)$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=cos \alpha cos \beta \mp sin \alpha sin \beta + i (sin \alpha cos \beta \pm  cos \alpha sin \beta)$$

綜合上式、式子 (1) 與式子 (2) 可知

$$cos (\alpha \pm \beta) = Re \{e^{i(\alpha \pm \beta) }\}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=cos \alpha cos \beta \mp  sin \alpha sin \beta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$

且

$$sin (\alpha \pm \beta) = Im  \{e^{i(\alpha \pm \beta) }\}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=sin \alpha cos \beta \pm  cos \alpha sin \beta \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$

又已知

$$tan(\alpha \pm \beta) = \frac{sin (\alpha \pm \beta)}{cos (\alpha \pm \beta)}$$

將式子 (3) 與 式子 (4) 代入上式，可得

$$tan(\alpha \pm \beta) = \frac{sin \alpha cos \beta \pm cos \alpha sin \beta}{cos \alpha cos \beta \mp  sin \alpha sin \beta}$$

再將上式的分子與分母同除以 $cos \alpha cos \beta$，即可得

$$tan(\alpha \pm \beta) = \frac{tan \alpha \pm tan \beta}{1 \mp tan \alpha tan \beta}$$

▇

應用範例一：設 $\alpha$，$\beta$ 均為銳角，且已知 $sin \alpha =\frac{12}{13}$，$cos \beta =\frac{3}{5}$，則 $cos (\alpha - \beta)$ 之值為何？

解：

$sin \alpha =\frac{12}{13}$，$cos \beta =\frac{3}{5}$，則 $cos\alpha = \frac{5}{13}$，$sin \beta =\frac{4}{5}$，所以

$$cos (\alpha - \beta)=cos \alpha cos\beta + sin \alpha sin\beta \;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \frac{5}{13}\times \frac{3}{5}+\frac{12}{13}\times \frac{4}{5}$$

$$=\frac{63}{65}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

▇

根據上面的和差角公式，很容易就能找出正弦、餘弦以及正切的二倍角公式如下：

$sin2\theta = 2sin \theta cos\theta $

$cos2\theta=cos^2\theta-sin^2\theta=2cos^2\theta-1=1-2sin^2\theta$

$tan2\theta = \frac{2tan\theta}{1-tan^2\theta}$

推導：

$$sin2 \theta = sin(\theta + \theta)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$ \;\;\;\;\;= sin\theta cos\theta + cos\theta sin\theta$$

$$  \;= 2sin\theta cos\theta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; $$

$$ cos2 \theta = cos(\theta + \theta) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$ \;\;\;\;\;= cos\theta cos\theta - sin\theta sin\theta$$

$$=cos^2\theta-sin^2\theta\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;=(1-sin^2\theta)-sin^2\theta$$

$$\;=1-2sin^2\theta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=1-2(1-cos^2\theta)\;$$

$$\;=2cos^2\theta -1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$tan(2\theta)=tan(\theta+\theta)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=\frac{tan\theta+tan\theta}{1-tan\theta tan\theta}\;\;$$

$$=\frac{2tan\theta}{1-tan^2\theta}\;\;\;\;\;\;\;$$

▇

應用範例二：$f(x)=cos^2 2x-2sin^2 x+2 $ 的極小值為何？

解：

$$f(x)=cos^2 2x-2sin^2 x +2 $$

已知 

$$cos2 x=1-2sin^2 x$$

可知

$$sin^2 x=\frac{1-cos 2x}{2}$$

即 

$$f(x)=cos^2 2x-2 \left ( \frac{1-cos 2x}{2}\right )+2$$

$$=cos^2 2x+cos 2x+1\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=(cos2x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\;\;\;\;\;\;\;\;$$

所以，當 $cos2x=-\frac{1}{2}$ 時，$f(x)$ 有極小值 $\frac{3}{4}$。

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