數線上的分點公式

數線上的內分點公式 (Internal Section Formula)

圖一  數線上的內分點 P

如圖一所示，$P$ 點是 $\overline{AB}$ 的內分點，其中 $m$，$n$ $>0$ ，則其座標與 $A$、$B$ 兩點座標的關係為：

$(x_p, y_p)=(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\;\frac{ny_1+my_2}{m+n})$

推導：

如圖二所示，

圖二  數線上內分點公式推導的輔助線圖

令 $\overline {AP}$ 的長度為 $mk$，且 $\overline {PB}$ 的長度為 $nk$，則 $\overline {AB}$ 的長度為 $(m+n)k$，其中 $k>0$，可知

$$y_2-y_1=(m+n)k\sin\theta$$

所以，

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k\sin \theta=\frac{y_2-y_1}{m+n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

又

$$x_2-x_1=(m+n)k\cos \theta$$

可知

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k\cos \theta=\frac{x_2-x_1}{m+n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$

已知

$$x_p=x_1+mk\cos \theta$$

將式子 (2) 代入上式，可得

$$x_p=x_1+\frac{m(x_2-x_1)}{m+n}=\frac{nx_1+mx_2}{m+n}$$

而

$$y_p=y_1+mk\sin\theta$$

將式子 (1) 代入上式，則可得

$$y_p=y_1+\frac{y_2-y_1}{m+n}=\frac{ny_1+my_2}{m+n}$$

■

範例一：$A(6, 3)$ ，B(1, -2)，$P$ 在線段 $\overline{AB}$ 上，且 $\overline {AP}\;:\;\;\overline{PB} =2:3$，則 $P$ 點座標為何

解：

$$P(x, y)=\left( \frac{nx_1+mx_2}{m+n},\; \frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)=\left (\frac{3\times 6+2\times 1}{2+3},\;\frac{3\times 3 +2\times (-2)}{2+3}\right )=(4, \;1)$$

範例二：設平面上有 $O(0,\;0)$，$A(4, \;3)$，$B(9, \;-9)$ 三點，若 $\angle {OAB}$ 的平分線交 $\overline {OB}$ 於 $C$ 點，則 $C$ 點的座標為何？

解：

設 $C$ 點座標為 $(x, \;y)$ ，如圖三所示根據角平分線的性質：

$$\frac{\overline {OC}}{\overline {CB}}=\frac{\overline {OA}}{\overline {AB}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{\sqrt {(4-0)^2+(3-0)^2}}{\sqrt {(9-4)^2+(-9-3)^2}}$$

$$=\frac{5}{13}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

圖三  $\angle OAB$ 之平分線交 $\overline {OB}$ 於 $C$ 點

所以，

$$C(x,\;y)=\left (\frac{5(9)+13(0)}{5+13},\;\frac{5(-9)+13(0)}{5+13}\right)=\left (\frac{5}{2}, -\frac{5}{2}\right )$$

數線上的中點公式 (Midpoint Formula)

若 $m:n=1:1$ ，則 $P$ 稱為 $\overline {AB}$ 的中點，其座標為：

$(x_p,\; y_p)=(\frac {x_1+x_2}{2},\;\frac{y_1+y_2}{2})$

推導：

利用上面的內分點公式，令 $m=n=1$ 即可得。

■

範例三：$A(2,\;8)$，$B(8, \;10)$，求 $\overline {AB}$ 的中點座標

解：

$$(x_p,\;y_p)=\left ( \frac{2+8}{2},\;\frac{8+10}{2}\right)=(5,\;9)$$

範例四：設 $A(0,\;1)$，$B(-2,\;-3)$，$C(2,\;0)$，則平行四邊形 $ABCD$ 中，$D$ 點的座標為何？

解：

應用平行四邊形的兩對角線會互相平分，且二者的中點重合的性質，設 $D(x,\;y)$，則

$$\left (\frac{-2+x}{2},\;\frac{-3+y}{2}\right ) = \left ( \frac{2+0}{2},\;\frac{1+0}{2} \right )$$

可得

$$x=4\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y=4$$

數線上的外分點公式 (External Section Formula)

圖四  數線上的外分點 P

$(x_p, \;y_p)=\left ( \frac{mx_2-nx_1}{m-n},\;\frac{my_2-ny_1}{m-n}\right )$

推導：

如圖四所示，已知

$$\frac{\overline{AP}}{\overline{BP}}=\frac{m}{n}$$

即

$$\frac{\overline{AB}+\overline{BP}}{\overline {BP}}=\frac{m}{n}$$

可得

$$\frac{\overline{AB}}{\overline {BP}}=\frac{m-n}{n}$$

利用上面的內分點公式，將 $B$ 點視為 $\overline {AP}$ 的內分點，則

$$x_2=\frac{nx_1+(m-n)x_p}{(m-n)+n}=\frac{nx_1+(m-n)x_p}{m}$$

即可得

$$x_p=\frac{mx_2-nx_1}{m-n}$$

又

$$y_2=\frac{ny_1+(m-n)y_p}{(m-n)+n}$$

可得

$$y_p=\frac{my_2-ny_1}{m-n}$$

■

範例五：設平面上有 $A(-3, \;2)$，$B(8,\;-4)$ 兩點，若 $P(x,\;y)$ 在線段 $AB$ 的延長線上，且已知 $\overline {AP}:\overline {AB}=5:3$，則外分點 $P$ 的座標為何？

解：

依題意，

$$\frac{\;\overline{AP}\;}{\;\overline{AB}\;}=\frac{\;5\;}{3}$$

因此，

$$\frac{\;\overline{AB}+\overline{BP}}{\;\overline{AB}\;}=\frac{\;5\;}{3}$$

可知

$$\frac{\;\overline {AB}\;}{\;\overline{BP}\;}=\frac{\;3\;}{2}$$

意即

$$(8,\;-4)=\left ( \frac{2\times (-3)+3 \times x}{3+2},\;\frac{2\times (-3)+3 \times y}{3+2}\right)$$

$$x=\frac{46}{3}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y=-8\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\therefore \;\;\;\;\;P\left (\frac{46}{3},\;-8 \right )$$