平面上兩向量所圍的三角形面積

已知平面上兩向量 $\overrightarrow a\;$ 與 $\overrightarrow b\;$，其中 $\overrightarrow a = (a_1, \;a_2)$ 且 $\overrightarrow b = (b_1,\;b_2)$，則此二向量所圍成的三角形面積為

$\Delta \;面積\; =\frac{1}{2}\sqrt{|\;\overrightarrow a\;|^2|\;\overrightarrow b\;|^2-(\overrightarrow a\;\cdot \overrightarrow  b\;)^2}=\frac{1}{2}\;|\;\overrightarrow a \times \overrightarrow b\;|=  \frac{1}{2}\;|\;\begin{vmatrix}     a_1 & a_2 \\     b_1 & b_2    \end{vmatrix}\;|$

推導：

如圖一所示，可知平面上兩向量 $\;\overrightarrow a\;$ 與 $\;\overrightarrow b\;$ 圍成的三角形 ABC 的底邊長為 $|\;\overrightarrow b\;|$，高為 $|\;\overrightarrow a\;|\;sin\theta$，所以面積

圖一  $\vec a\;$ 與 $\vec b\;$ 圍成三角形 ABC

 

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;S=\frac{1}{2}\;|\;\overrightarrow b \;|\; |\;\overrightarrow a\;|\;sin\theta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

又已知

$$|\;\overrightarrow a \times \overrightarrow b\;| = |\;\overrightarrow a\;|\;|\;\overrightarrow b \;|\;sin\theta$$

因此，

$$S=\frac{1}{2}\;|\;\overrightarrow a \times \overrightarrow b\;|$$

又式子 (1) 還可改寫成

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;S=\frac{1}{2}\;|\;\overrightarrow a\;|\;|\;\overrightarrow b \; |\sqrt{1-cos^2\theta}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$

根據內積定義

$$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = |\;\overrightarrow a\;|\;|\;\overrightarrow b \; |\;cos\theta$$

所以

$$cos\theta = \frac{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b}{|\;\overrightarrow a\;|\;|\;\overrightarrow b \; |}$$

將上式代入式子 (2)，可得面積

$$\;S=\frac{1}{2}\;|\;\overrightarrow a \;|\;|\;\overrightarrow b\;|\;\sqrt{1-\left (\frac{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b}{|\;\overrightarrow a \;|\;|\;\overrightarrow b\;|}\right )^2}$$

$$=\frac{1}{2}\;\sqrt{|\;\overrightarrow a \;|^2\;|\;\overrightarrow b\;|^2-(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b)^2}\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\;\sqrt{(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2}$$

$$=\frac{1}{2}\;\sqrt{a_1^2b_2^2-2a_1a_2b_1b_2+a_2^2b_1^2}\;$$

$$=\frac{1}{2}\;\sqrt{(a_1 b_2-a_2 b_1)^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;=\frac{1}{2}\;  |\;(a_1 b_2-a_2 b_1)  \;|\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=\frac{1}{2}\;|\;\begin{vmatrix}     a_1 & a_2 \\     b_1 & b_2    \end{vmatrix}\;|\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

應用範例：設平面上有 $A(1,\;2)$，$B(9,\;4)$，$C(8,\;5)$ 三點，則 $\Delta ABC$ 面積為何？ 

解：

$$\overrightarrow a =(a_1,\;a_2)= (9-1,\;4-2) = (8, \;2)$$

$$\overrightarrow b =(b_1,\;b_2)= (8-1,\;5-2) = (7, \;3)$$

$$\therefore \;\Delta ABC \;面積 = \frac{1}{2}\;|\;\begin{vmatrix}     a_1 & a_2 \\     b_1 & b_2    \end{vmatrix}\;|\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\;|\;\begin{vmatrix}     8 & 2 \\   7 &3    \end{vmatrix}\;|$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac {1}{2}\;|\;8\times 3-2\times 7\;|$$

$$=5\;$$