對數性質推導 | 對數的運算例題
若有一以 $a$ 為底數 (Base) 的指數 (Exponential)
$$a^b=x \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(a>0，a \ne 1 \;且\; x>0)$$
則有
$$\;\;\;\;\;\;\;\;b=log_a\; x \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (a\; 稱為底數，x\; 稱為真數 )$$
其中對數 (Logarithm) $log_a\; x$ 的意思是：『$x$ 是 $a$ 的幾次方？』，答案是 $b$ 次方，此即為其對數值。例如 $log_2\; 8 $ 表示的是 $8$ 是 $2$ 的幾次方，即 $log_2\; 8 = 3$。從上述也可看出指數與對數是互為逆運算的。而對數常見的應用則是如下所述的對數和差公式，可將原為乘除的運算，轉換為較簡單的加減運算。以下我們將分別推導對數的一些基本性質與法則：
對數的和差公式 (Logarithmic Sum and Difference Formulas)
設底數 $a>0$ 且 $a \neq 1$，真數 $x$ 、$y>0$，則
$log_a\; x+log_a \;y = log_a\; xy$
$log_a\; x-log_a\; y = log_a\; \frac{x}{y}$
令 $log_a\;x = m$， $log_a\; y = n$，則
$$x=a^m \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y=a^n$$
將 $x$ 與 $y$ 相乘，可得
$$xy=a^{(m+n)}$$
即
$$log_a\; xy = log_a\; a^{(m+n)}$$
$$\;\;\;\;\;=m+n$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=log_a\; x + log_a \;y$$
又將 $x$ 與 $y$ 相除，可得
$$\frac{x}{y} = a^{(m-n)}$$
即
$$log_a\; \frac{x}{y}=log_a\; a^{(m-n)}$$
$$\;\;\;\;\;=m-n$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=log_a\; x-log_a\; y$$
範例一：若 $log_2 \;x+log_2 \;(x-1)=1$，則 $ x $ 的值為何？
解：
$$log_2 \;x(x-1) =1$$
所以
$$x(x-1)=2$$
$$x^2-x-2=0$$
$$(x-2)(x+1)=0$$
即
$$x=2 \;\;或\;\; x=-1\;(不合)$$
對數的冪法則 (Power Rule)
$log_a \;x^n = n\;log_a\; x$
令 $log_a\; x=m$，則 $x=a^m$。因此，
$$x^n = (a^m)^n=a^{mn}$$
所以
$$log_a \;x^n = log_a \;a^{mn}=mn=n\;log_a\; x$$
範例二：試求 $2\;log_{10} \;5+log_{10} \;8+log_{10} \;35-log_{10} \;7$ 之值
解：
$$2\;log_{10}\;5+log_{10}\; 8+log_{10}\; 35-log_{10}\; 7 = log_{10}\; \frac{5^2 \times 8 \times 35}{7}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=log_{10}\; 1000$$
$$\;\;\;\;\;\;\;=3$$
範例三：有一個兩級的放大器，其第一級的功率增益 $A_{P1}$ 為 $1000$，第二級的功率增益 $A_{P2}$ 為 $100$，則總功率增益 $A_{PT}$ 為多少？並以分貝 ($dB$) 表示之 ( 對數的底數若為 10，底數可省略不寫 )。〔說明〕：$N$ 級放大器之總功率增益 $A_{PT}$ 為各級功率增益之乘積，即 $A_{PT}=A_{P1}A_{P2}A_{P3}...A_{PN}$，其中 $A_{P1}...A_{PN}$ 為各級功率增益。而功率增益若以 $dB$ 表示，$A_p(dB)=10\;\log (A_p)$。
解法一：
$$A_{PT}=A_{P1}A_{P2}=1000 \times 100=100000$$
轉換成 $dB$：$$A_{PT}(dB)=10\;\log A_{PT}=10\;\log 100000=10 (5)=50\;dB$$
解法二：
因為 $A_{PT}=A_{P1}A_{P2}$，則
$$10\;\log A_{PT}=10\;\log (A_{P1}A_{P2})$$
$$A_{PT}(dB)=10\;\log A_{P1}+10\;log A_{P2}=A_{P1}(dB)+A_{P2}(dB)$$
又
$$A_{P1}(dB) =10\;\log 1000=30\;dB$$
$$A_{P2}(dB) =10\;\log 100=20\;dB$$
所以
$$A_{PT}(dB)=30+20=50\;dB$$
$A_{PT}(dB)$ 轉換成 $A_{PT}$：
$$50=10\;\log A_{PT}$$
$$\log A_{PT}= 5$$
$$A_{PT}=100000$$
範例四：已知 log 2 = 0.3010，log 3 = 0.4771，$x$ 為自然數，若 $300 < \left ( \frac{4}{3} \right )^ x <400$，則 $x$ 的值為多少？( 對數的底數若為 10，底數可省略不寫 )
解：
因為
$$300 < \left ( \frac{4}{3} \right )^ x <400$$
所以
$$log \;300 < log \; \left ( \frac{4}{3} \right )^ x < log\; 400$$
$$log\; (3 \times 100 )< x (log\;4 - log\; 3)< log\; (4 \times 100)$$
$$log \;3 + log\; 10^2 < x (log \;2^2 - log \;3) < log\; 2^2 + log \;10^2$$
$$log \;3 +2\; log \;10 < x (2\;log\; 2 - log\; 3) < 2\;log\;2 + 2\;log \;10$$
$$0.4771 + 2 < x (2\times 0.301 - 0.4771) < 2 \times 0.301 +2$$
$$19.8327 < x < 20.8327$$
故
$$x = 20$$
對數的換底法則 (Change of Base Rule)
$log_a\; x =\frac{log_b\; x}{log_b \;a}$
令 $log_a \;x = m$，則 $x=a^m$。因此
$$x=a^m$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;log_b \;x = log_b \;a^m=m\;log_b \;a \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(b > 0 \;\;且\;\; b\ne 1) $$
可知
$$m=\frac{log_b \;x}{log_b \;a}$$
亦即
$$log_a\;x = \frac{log_b \;x}{log_b \;a}$$
範例五：$log_2\; (x^2+32)+log_{\frac{1}{2}}\;(x-2)=4$，則 $x$ 的值為何？
解：
$$log_2\;(x^2+32)+\frac{log_2\; (x-2)}{log_2 \;(\frac{1}{2})}=4$$
$$log_2\;(x^2+32)+\frac{log_2\; (x-2)}{-1}=4$$
$$log_2 \;\frac{x^2+32}{x-2}=4$$
$$\frac{x^2+32}{x-2}=16$$
$$x^2-16x+64=0$$
$$(x-8)^2=0$$
故
$$x=8$$
範例六：若 $\log_n 3=7$，則 $\log_9 n =$？
$$\log_n 3=7$$
根據換底法則，可知
$$ \frac{\log_3 3}{\log_3 n}=7$$
所以
$$\log_3 n=\frac{1}{7}$$
因此
$$\log_9 n=\frac{\log_3 n}{\log_3 9}=\frac{\frac {1}{7}}{2}=\frac{1}{14}$$
對數的逆運算法則 (Inverse Rule)
$a^{log_a \;x}=x$
$log_a \;a^x=x$
推導：
令 $k=log_a \;x$，則
$$x=a^k$$
所以
$$a^{log_a\; x}=a^k=x$$
又根據對數的冪法則，
$$log_a \;a^x = x\;log_a \;a=x$$
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