眞趣盎然集

餘弦定理 (Law of Cosines) 敘述如下： 三角形 $ABC$ 中，若 $\angle A$ 的對邊長度為 $a$，$\angle B$ 的對邊長度為 $b$，$\angle C$ 的對邊長度為 $c$，則 $a^2=b^2+c^2-2bc \cos \angle A$ $b^2=a^2+c^2-2ac \cos \angle B$ $c^2=a^2+b^2-2ab \cos \angle C$ 推導： 如圖一所示的三角形 $ABC$， 圖一   (a) $\angle C$ 為銳角時的三角形 $ABC$，  (b) $\angle C$ 為鈍角時的三角形 $ABC$ (1) 當 $\angle C$ 為銳角 (Acute Angle) 時： 如圖二所示，自頂點 $A$ 劃一條垂直於 $\overline {BC}$ 的線，垂足為 $D$，則  $\overline {CD}=b\cos \angle C$， $\overline {AD}=b\sin \angle C$，且可知 $\overline {BD}=a-b\cos \angle C$。 圖二    $\angle C$ 為銳角的三角形 $ABC$ 將直角三角形 $ABD$，應用 畢氏定理 (Pythagorean Theorem) 可得 $$c^2=(a-b\cos \angle C)^2+(b\sin \angle C)^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;=a^2-2ab\cos \angle C+b^2\cos^2 \angle C+b^2 \sin^2 \angle C$$ $$=a^2-2ab\cos \angle C+b^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ (2) 當 $\angle C$ 為鈍角 (Obtuse Angle) 時： 如圖三所示，自頂點 $A$ 劃一條垂直於 $\overline {BC}$ 的延伸線，垂足為 $D$，則 $\overline {CD}=b\cos (\pi-\angle C)=-b\cos \angle C$，$\overline {AD}= b\sin (...

二維的 科西不等式 (Cauchy-Schwarz Inequality) 如下所述： 設 $a$、$b$ 與 $x$、$y$ 均為實數，則 $(a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2$ 且當 $ay=bx$ 時，等號成立 推導一： $$(a^2+b^2)(x^2+y^2) =a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又已知 $$a^2y^2-2abxy+b^2x^2=(ay-bx)^2 \ge 0$$ 亦即 $$a^2y^2+b^2x^2 \ge 2abxy\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 且由上面的不等式可知，等號成立發生在 $(ay-bx)^2=0$，即 $ay=bx$ 時。 將式子 (2) 代入式子 (1)，即可得 $$(a^2+b^2)(x^2+y^2)  \ge a^2x^2+2abxy+b^2y^2=(ax+by)^2$$ 即 $$(a^2+b^2)(x^2+y^2)  \ge (ax+by)^2$$ 且等號成立發生在 $ay=bx$ 時。 推導二： 令 $\overrightarrow u = (a, b)$，$\overrightarrow v=(x, y)$，且 $\overrightarrow u\;$ 與 $\overrightarrow v\;$ 的夾角為 $\theta$，則 $$\overrightarrow u\; \cdot \; \overrightarrow v = ax+by$$ 且 $$|\;\overrightarrow u\;| =\sqrt{a^2+b^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\;\overrightarrow v\;| =\sqrt{x^2+y^2}$$ 代入內積 (Inner Product) 的定義 $$\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v =|\;\overrightarrow u\;||\;\overrightarrow v\;|\cos \theta$$ 可得 $$ax+by=\sqrt{a^2+b^2}\;\sqrt{x^2+y^2}\...

科學記號 (Scientific Notation) 常被用來簡潔地表示極大或極小的數值以方便分析，其表示法為  $$a \times 10^n \;\;\; (1 \le |\;a\;|<10，n \;為整數 )$$ 例如一個大於 $1$ 的數： $673,000$，若以科學記號來表示，可寫成 $6.73 \times 10^5$，將其取對數，可得 $5+\log\;6.73$，其中 $5$ 為對數值整數的部分，$\log\;6.73$ 為對數值小數的部分。我們可以觀察到 $673,000$ 為 6 位數，剛好是其科學記號表示法中的指數 $5$ 加 $1$ 或是其對數值整數部分 (即 $5$) 加 $1$ 的結果；又一個小於 $1$ 的數：$0.00673$ 的科學記號為 $6.73 \times 10^{-3}$，對數值為 $-3+\log\;6.73$，我們也可以觀察到該數在小數點第 $3$ 位開始數字不為 $0$，剛好是其科學記號表示法中的指數 $-3$ 的絕對值或是其對數值整數部分的絕對值。 因此，若有一正數 $x$ 其科學記號為 $a \times 10^n\;(a\;為正數，\;n\;為整數\;)$，則 $$x=a \times 10^n$$ 上式兩邊取對數，可得 $$log\;x = log\;(a \times 10^n)=log\;a+log\;10^n=n+log\;a$$ 已知 $1\le a <10$，所以 $0 \le \log\;a <1$。上式中的 $n$ 為對數值的整數部分稱為 $\log\;x$ 的 首數  (Characteristic)，而 $\log\;a$ 為對數值小數的部分則稱之為 尾數  (Manttissa)。若 $n$ 為正整數，則 $x$ 的位數為 $n+1$；若 $n$ 為負整數，則 $x$ 在小數點以下第 $|\;n\;|$ 位開始數字不為 $0$。 從另一角度來看，令上式中的 $\log\;a=m$，則  $\log \;x=n+m$，其中的 $m$ 為尾數。 可知 $$x=10^{n+m}$$ 且 $$0 \le m \lt 1$$ 所以 $$n \le n+m \lt n+1$$ $$10^{n} \le 10^{n+m} \lt 10^{n+1...

若有一以 $a$ 為 底數 (Base) 的指數 (Exponential)   $$a^b=x  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(a>0，a \ne 1 \;且\; x>0)$$ 則有  $$\;\;\;\;\;\;\;\;b=log_a\; x  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (a\; 稱為底數，x\; 稱為真數 )$$ 其中 對數 (Logarithm) $log_a\; x$ 的意思是：『$x$ 是 $a$ 的幾次方？』，答案是 $b$ 次方，此即為其對數值。例如 $log_2\; 8 $ 表示的是 $8$ 是 $2$ 的幾次方，即 $log_2\; 8 = 3$。從上述也可看出指數與對數是互為逆運算的。而對數常見的應用則是如下所述的對數和差公式，可將原為乘除的運算，轉換為較簡單的加減運算。以下我們將分別推導對數的一些基本性質與法則： 對數的和差公式 ( Logarithmic Sum and Difference Formulas ) 設底數 $a>0$ 且 $a \neq 1$，真數 $x$ 、$y>0$，則 $log_a\; x+log_a \;y = log_a\; xy$ $log_a\; x-log_a\; y = log_a\; \frac{x}{y}$ 推導： 令 $log_a\;x = m$， $log_a\; y = n$，則  $$x=a^m \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y=a^n$$ 將 $x$ 與 $y$ 相乘，可得 $$xy=a^{(m+n)}$$ 即 $$log_a\; xy = log_a\; a^{(m+n)}$$ $$\;\;\;\;\;=m+n$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=log_a\; x + log_a \;y$$ 又將 $x$ 與 $y$ 相除，可得 $$\frac{x}{y} = a^{(m-n)}$$ 即 $$log_a\; \frac{x}{y}=log_a\; a^{(m-n)}$$ $$\;\;\;\;\;=m-n$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=log_a\; x...

Derivation of the Sum Difference Identities in Trigonometry Using Euler's Formula 正弦、餘弦以及正切的和差角公式如下： $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin  \alpha\cos  \beta \pm \cos \alpha \sin \beta $ $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha\cos \beta \mp \sin \alpha\ sin\; \beta$ $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha\; \pm \tan\; \beta}{1 \;\mp \tan  \alpha \tan \beta}$ 推導： 由 尤拉公式 $$e^{ix}= \cos x+i \sin x$$ 可知 $$e^{i(\alpha \pm \beta) }= \cos (\alpha \pm \beta) + i \sin (\alpha \pm \beta)$$ 亦即 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \cos (\alpha \pm \beta) = Re\left \{e^{i(\alpha \pm \beta) }\right \}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 且 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \sin (\alpha \pm \beta) = Im \left  \{e^{i(\alpha \pm \beta) }\right \}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 其中 $Re\{Z\}$ 表示複數 $Z$ 的 實部 (Real Part)，$Im \{Z\}$ 則表示複數 $Z$ 的 虛部 (Imaginary Part)。 又 $$e^{i(\alpha \pm \beta) }= e^{i\alpha}\; e^{\pm i\beta}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\...

已知平面上兩向量 $\overrightarrow a\;$ 與 $\overrightarrow b\;$，其中 $\overrightarrow a = (a_1, \;a_2)$ 且 $\overrightarrow b = (b_1,\;b_2)$，則此二向量所圍成的三角形面積為 $\Delta \;面積\; =\frac{1}{2}\sqrt{|\;\overrightarrow a\;|^2|\;\overrightarrow b\;|^2-(\;\overrightarrow a\;\cdot \overrightarrow  b\;)^2}=\frac{1}{2}\;|\;\overrightarrow a \times \overrightarrow b\;|=  \frac{1}{2}\;|\;\begin{vmatrix}     a_1 & a_2 \\     b_1 & b_2    \end{vmatrix}\;|$

數線上的內分點公式 ( Internal Section Formula ) 圖一   數線上的內分點 P 如圖一所示，$P$ 點是 $\overline{AB}$ 的內分點，其中 $m$，$n$ $>0$ ，則其座標與 $A$、$B$ 兩點座標的關係為： $(x_p, y_p)=(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\;\frac{ny_1+my_2}{m+n})$ 推導： 如圖二所示， 圖二   數線上內分點公式推導的輔助線圖 令 $\overline {AP}$ 的長度為 $mk$，且 $\overline {PB}$ 的長度為 $nk$，則 $\overline {AB}$ 的長度為 $(m+n)k$，其中 $k>0$，可知 $$y_2-y_1=(m+n)k\sin\theta$$ 所以， $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k\sin \theta=\frac{y_2-y_1}{m+n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又 $$x_2-x_1=(m+n)k\cos \theta$$ 可知 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k\cos \theta=\frac{x_2-x_1}{m+n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 已知 $$x_p=x_1+mk\cos \theta$$ 將式子 (2) 代入上式，可得 $$x_p=x_1+\frac{m(x_2-x_1)}{m+n}=\frac{nx_1+mx_2}{m+n}$$ 而 $$y_p=y_1+mk\sin\theta$$ 將式子 (1) 代入上式，則可得 $$y_p=y_1+\frac{y_2-y_1}{m+n}=\frac{ny_1+my_2}{m+n}$$ ■ 範例一 ：$A(6, 3)$ ，B(1, -2)，$P$ 在線段 $\overline{AB}$ 上，且 $\overline {AP}\;:\;\;\overline{PB} =2:3$，則 $P$ 點座標為何 解： $$P(x, y)=\left( \frac{nx_1+mx_2}{m...

圖一   $\;\overrightarrow c \;$ 是 $\;\overrightarrow a \;$ 的正射影 如圖一所示，若 $\overrightarrow c = t \;\;\overrightarrow {b}\;$ 且 $(\;\overrightarrow a - \;\overrightarrow c\;\;)\; \bot \;\overrightarrow b\;$，則 $\;\overrightarrow c\;$ 稱為 $\;\overrightarrow a\;$ 在 $\;\overrightarrow b\;$ 上的 正射影 (Orthogonal Projection)。而 $\;\overrightarrow c\;$ 與 $\;\overrightarrow a\;$ 、$\;\overrightarrow b\;$ 的關係如下： $proj_{\;\overrightarrow b\;}\;\overrightarrow a\; = \;\overrightarrow c \;= \frac{(\;\overrightarrow a \;\cdot \;\overrightarrow b\;)\;\overrightarrow b\;}{|\; \overrightarrow b\; |^2} =\frac{(\;\overrightarrow a \;\cdot \;\overrightarrow b\;)\;\overrightarrow b\;}{ \overrightarrow b\; \cdot \;\overrightarrow b}$ 推導一： 已知 $\;\overrightarrow b\;$ 的單位向量為 $\frac{\overrightarrow b}{|\;\overrightarrow b\;|}$，$\;\overrightarrow c = t \;\;\overrightarrow {b}\;$，$t$  為正實數，則 $$\overrightarrow c = |\;\overrightarrow a \;|\cos \theta \;\frac{\overrightarrow b}{|\;\overrightarrow b\;|}$$ 將上式的分子分母同乘以 ...

  $A\;cos\;\omega t+B\;sin\;\omega t$ 可簡化成單一的餘弦函數，此方法稱為 正餘弦函數疊合 ( Superposition of Sine and Cosine Functions ) ，其簡化後的結果如下所示：  $A\;cos\;\omega t+B\;sin\;\omega t = \sqrt{A^2+B^2}\;cos(\omega t-tan^{-1}\frac{B}{A})$ 接下來我們將分別以 標準的三角公式 以及 相量 (phasor) 來推導此公式。 以標準的三角公式推導 $A\;cos\;\omega t+B\;sin\;\omega t $ 可改寫成如下的式子： $$A\;cos\;\omega t+B\;sin\;\omega t =\sqrt{A^2+B^2}\;(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\;cos\;\omega t+\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\;sin\;\omega t)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又已知標準的三角公式， $$cos\;x\;cos\;y+sin\;x\;sin\;y = cos(x-y)$$ 因此，如圖一所示，令 $$cos\;\theta = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}$$ 且 $$sin\;\theta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}$$ 則 $$tan\;\theta = \frac{B}{A}$$ 圖一     鄰邊長度為 A，對邊長度為 B 的直角三角形 所以，式子 (1) 可進一步改寫成 $$A\;cos\;\omega t+B\;sin\;\omega t = \sqrt{A^2+B^2}\;(cos\;\omega t \;cos\;\theta + sin\;\omega t\; sin\;\theta)\;\;\;\;\;\;$$ $$= \sqrt{A^2+B^2}\;cos(\omega t-\theta)\;$$ 其中的  $\theta = tan^{-1}\frac{B}{A}$。 以相量 (Phasor) 推導 由尤拉公式 $$e^{iz}=cos\...

  sine 的三倍角公式如下： $$\sin 3x = 3\sin x-4\sin^3 x$$ 以下將分別以角度加法公式以及尤拉公式推導 sine 的三倍角公式。 以角度加法公式推導 sine 的角度加法公式如下所示： $$\sin (A+B) = \sin A\cos B+\cos A\sin B$$ 所以 $$\sin 3x = \sin (2x+x) = \sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又已知 $$\sin 2x = 2\sin x\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ $$\cos 2x = 1-2\sin^2 x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ 將式子 (2) 與 (3) 代入式子 (1) 可得 $$\sin 3x = (2\sin x\cos x)\cos x+(1-2\sin^2 x)\sin x\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\sin x\cos^2 x+\sin x-2\sin^3 x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$ 又已知 $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$，代入式子 (4)，即可得 $$\sin 3x = 2\sin x-2\sin^3 x+\sin x-2\sin^3 x\;$$ $$=3\sin x-4\sin^3 x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ 以尤拉公式推導 已知尤拉公式 (Euler’s Formula) $$e^{ix} = \cos x+i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$ $$e^{-ix} = \cos x-i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)$$ 其中 $i = \sqrt{-1}$。 由式子 (5) 與 (6) 可得 $$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}...

  常見的 $sine$ 二倍角公式有兩種形式，首先第一種形式 $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ 是基本的形式，而如下所示為另一形式的 sine 二倍角公式，則可由基本形式根據三角函數的性質即可推導出。 $\sin 2x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}$ 以下將分別以角度加法公式以及尤拉公式來推導 sine 的二倍角公式。 以角度加法公式推導 已知 sine 的角度加法公式如下所示： $$\sin (A+B) = \sin A\cos B+\cos A\sin B$$ 所以 $$\sin 2x = \sin (x+x) = \sin x \cos x+\cos x\sin x = 2\sin x\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又式子 (1) 可改寫成 $$\sin 2x =2\sin x\frac{\cos^2 x}{\cos x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;= \cos^2 x\;\left (\frac{2\sin x}{\cos x}\right )$$ $$\;\;\;=\frac{1}{\sec^2 x}(2\tan x)$$ $$=\frac{2\tan x}{\tan^2 x+1}\;\;\;$$ 上面式子的推導使用到的三角函數等式與性質有： $\cos^2 x = \frac{1}{\sec^2 x}$、$\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ 以及 $\sec^2 x = \tan^2 x+1$。 以尤拉公式推導 已知尤拉公式 (Euler's formula) $$e^{ix} = \cos x+i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 且 $$e^{-ix} = \cos x-i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ 其中 $i=\sqrt{-1}$。 由式子 (2) 與 (3) 可得 $$\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\...

cosine 的三倍角公式如下所示： $$\cos 3x = 4\cos^3 x-3\cos x$$ 以下將分別以角度加法公式以及尤拉公式推導 cosine 的三倍角公式。 以角度加法公式推導 $\cos 3x$ 公式 cosine 的角度加法公式如下所示： $$\cos (A+B) = \cos A\cos B-\sin A\sin B$$ 所以 $$\cos 3x = \cos (2x+x) = \cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;  (1)$$ 已知 $$\cos 2x = 2\cos^2 x-1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ $$\sin 2x=2\sin x\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ 將式子 (2) 與 (3) 代入式子 (1) 可得 $$\cos 3x = (2\cos^2 x-1)\cos x-(2\sin x\cos x)\sin x\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$=2\cos^3 x-\cos x-2\sin^2 x\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (4)$$ 又已知  $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ 代入式子 (4)，可得 $$\cos 3x = 2\cos^3 x-\cos x-2(1-\cos^2 x)\cos x$$ $$=4\cos^3 x-3\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$                         以尤拉公式推導  $\cos 3x$ 公式 已知尤拉公式 (Euler’s Formula) $$e^{ix} = \cos x+i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;...

$cosine$ 二倍角公式有幾種形式，首先 $$cos\;2x = cos^2x-sin^2x$$ 是基本的形式，常見的其它形式的 $cosine$ 二倍角公式，可由其基本形式根據三角函數性質即可推導出。如下所示為其它常見的 $cosine$ 二倍角公式： $$cos\;2x = 2\;cos^2x-1$$ $$cos\;2x = 1-2\;sin^2x$$ 以及 $$cos\;2x = \frac{1-tan^2x}{1+tan^2x}$$ 以下將分別以角度加法公式以及尤拉公式推導 $cosine$ 二倍角公式。 以角度加法公式推導 $cosine$ 的角度加法公式如下所示： $$cos(A+B) = cos\;A\;cos\;B-sin\;A\;sin\;B$$ 所以 $$cos\;2x = cos(x+x) = cos\;x\;cos\;x-sin\;x\;sin\;x = cos^2x-sin^2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又已知 $$cos^2x+sin^2x = 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 則由式子 (2) 可知 $$sin^2x = 1-cos^2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ 及 $$cos^2x = 1-sin^2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$ 將式子 (3) 以及式子 (4) 分別代入式子 (1) 就可得到 $$cos\;2x = 2 \;cos^2x-1$$ 且 $$cos\;2x = 1-2\;sin^2x$$ 又式子 (1) 也可改寫成 $$cos\;2x = cos^2x(1-\frac{sin^2x}{cos^2x})$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= cos^2\;x(1-tan^2x)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{sec^2x}(1-tan^2x)$$ $$=\frac{1-tan^2x}{1+tan^2x}$$ 上面式子的推導使用到的性質之一是 $sec^2x = 1+tan^2x$ 等式。 以尤拉公式推導 已知尤拉...