三角函數的導數

作者： Danny Yang

Derivatives of Trigonometric Functions

 
三角函數在數學、物理學以及工程學上均佔有極重要的角色。本文在此主要說明三角函數導數 (Derivative) 的推導以及其對應的積分公式。首先，$\sin x$ 與 $\cos x$ 導數的推導，我們將利用尤拉公式 (Euler's Formula) 來完成。其餘的三角函數的導數，則會應用微分法則與三角函數等式來得到。


$\frac{d}{dx}\;\sin x=\cos x$

對應的積分

$\int \cos x\;dx=\sin x+C$

若 $u$ 為一可微的 $x$ 函數，則

$\frac{d}{dx} \sin u=\cos u \frac{du}{dx}$

推導：

由尤拉公式
$$e^{ix}=\cos x+i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\forall\;x\in R$$
可知
$$\sin x=\mathcal {Im}\left \{e^{ix}\right \}$$
其中的 $\mathcal {Im}\{Z\}$ 表示複數 $Z$ 虛部 (Imaginary Part) 的意思。因此，
$$\frac{d}{dx}\;\sin x=\frac{d}{dx}\;\mathcal {Im}\left \{e^{ix}\right \}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;=\mathcal {Im}\left \{\frac{d}{dx}\;e^{ix}\right \}$$
$$=\mathcal {Im}\left \{ie^{ix}\right \}\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\mathcal {Im}\{i(\cos x+i\;\sin x)\}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\mathcal {Im}\{-\sin x+i\;\cos x \}$$
$$=\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
其對應的積分為
$$\int \cos x\;dx=\sin x+C$$
此外，如果 $u$ 為一可微的 $x$ 函數 ( 即 $u=f(x)$ 可微 )，則根據鍊鎖律 (Chain Rule)，可得
$$\frac{d}{dx}\;\sin u=\frac{d}{du}(\sin u)\;\frac{du}{dx}= \cos u\;\frac{du}{dx}$$


範例一：求解 $\frac{d}{dx}\;\sin (3x^2+1)$。

解：
$$\frac{d}{dx}\;\sin\; (3x^2+1)=\cos\;(3x^2+1)\;\frac{d}{dx}(3x^2+1)=6x\cos\;(3x^2+1)$$


範例二：利用 $\sin x$ 的導數定義，求 $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$。

解：

根據導數的定義，$y=\sin x$ 對 $x$ 的導數為
$$\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to 0}\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}$$
所以，$y=\sin x$ 在 $x=0$ 的導數為
$$\left (\frac{dy}{dx}\right )_{x=0}=\lim_{h\to 0}\frac{\sin h-\sin 0}{h}$$
因此
$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{\sin x-\sin 0}{x-0}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=\left (\frac {d}{dx}\;\sin x \right )_{x=0}$$
$$=(\cos x)_{x=0}\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=\cos 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$


$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$

對應的積分

$\int \sin x\;dx=-\cos x+C$

若 $u$ 為一可微的 $x$ 函數，則

$\frac{d}{dx}\cos u=-\sin u \frac{du}{dx}$

推導：
$$\cos x=\mathcal {Re}\left \{e^{ix}\right \}$$
其中的 $\mathcal {Re}\{Z\}$ 表示複數 $Z$ 實部 (Real Part) 的意思。因此，
$$\frac{d}{dx}\;cos\;x=\frac{d}{dx}\;\mathcal {Re}\left \{e^{ix}\right \}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=\mathcal {Re}\left \{\frac{d}{dx}\;e^{ix}\right \}$$
$$=\mathcal {Re}\left \{ie^{ix}\right \}\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\mathcal {Re}\{i(\cos x+i\sin x)\}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\mathcal {Re}\{-\sin x+i \cos x \}$$
$$=-\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
其對應的積分為
$$\int \sin x\;dx=-\cos x+C$$
此外，如果 $u$ 為一可微的 $x$ 函數，則根據鍊鎖律，可得
$$\frac{d}{dx}\cos u=\frac{d}{du}(\cos u)\frac{du}{dx}= -\sin u\;\frac{du}{dx}$$


範例三：求解 $\frac {d}{dx}(4\cos 3x)$。

解：
$$\frac {d}{dx}(4\cos 3x)=4\;\frac{d}{dx}(\cos 3x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;=4(-\sin 3x)\;\frac{d(3x)}{dx}$$
$$=-4\;(\sin 3x)(3)\;\;\;\;$$
$$=-12\sin 3x \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$



$\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2 x$

對應的積分

$\int \sec^2 x\;dx=\tan x+C$

若 $u$ 為一可微的 $x$ 函數，則

$\frac{d}{dx}\tan u=\sec^2 u\;\frac{du}{dx}$

推導：
$$\frac{d}{dx}\tan x=\frac{d}{dx}\left (\frac{\sin x}{\cos x}\right )\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=\frac{\cos x\; \frac{d}{dx}\sin x - \sin x\; \frac {d}{dx}\cos x}{\cos^2 x}$$
$$=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=\frac{1}{\cos^2 x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=\sec^2 x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
其對應的積分為
$$\int \sec^2 x\;dx=\tan x+C$$
此外，如果 $u$ 為一可微的 $x$ 函數，則根據鍊鎖律，可得
$$\frac{d}{dx}\tan u=\frac{d}{du}(\tan u)\frac{du}{dx}= \sec^2 u\;\frac{du}{dx}$$


範例四：證明 $\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = 1$。

證明：
$$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{\tan x-\tan 0}{x-0}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=\left (\frac{d}{dx}\tan x \right )_{x=0}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=(\sec x)_{x=0}=\sec 0=1$$


$\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2 x$

對應的積分

$\int \csc^2 x\;dx=-\cot x+C$

若 $u$ 為一可微的 $x$ 函數，則

$\frac{d}{dx}\cot u=-\csc^2 u\;\frac{du}{dx}$

推導：
$$\frac{d}{dx}\cot x=\frac{d}{dx}(\tan x)^{-1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=-(\tan x)^{-2}\frac{d}{dx}\tan x$$
$$=-\frac{1}{\tan^2 x}sec^2 x\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=-\frac {\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=-\frac {1}{\sin^2 x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=-\csc^2 x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
其對應的積分為
$$\int \csc^2 x\;dx=-\cot x+C$$
此外，如果 $u$ 為一可微的 $x$ 函數，則根據鍊鎖律，可得
$$\frac{d}{dx}\cot u=\frac{d}{du}(\cot u)\frac{du}{dx}=- \csc^2 u\;\frac{du}{dx}$$


範例五：找出 $\ln \left |\cot \frac{x}{4}\right |$ 的導數。

解：

已知
$$\frac {d}{dx}\ln u=\frac{1}{u}\frac {du}{dx}$$
所以
$$\ln \left |\cot \frac{x}{4}\right | = \frac{1}{\cot \frac{x}{4}}\frac{d}{dx}\left (\cot \frac{x}{4}\right )\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$= \frac{1}{\cot \frac{x}{4}}\left [ -\csc^2 (\frac{x}{4})\frac{d}{dx}\left (\frac{x}{4}\right )\right ]\;$$
$$=-\frac{1}{4}\frac{\csc^2 \frac{x}{4}}{\cot \frac{x}{4}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=-\frac{1}{4}\frac {\frac{1}{(\sin \frac{x}{4})^2}}{\frac{\cos \frac{x}{4}}{\sin \frac{x}{4}}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=-\frac{1}{4}\frac{1}{\cos \frac{x}{4}\sin \frac{x}{4}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=-\frac{1}{2}\frac{1}{\sin \frac{x}{2}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=-\frac{1}{2}\csc \frac{x}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$


$\frac{d}{dx}\sec x=\sec x \tan x$

對應的積分

$\int \sec x \tan x\;dx=\sec x+C$

若 $u$ 為一可微的 $x$ 函數，則

$\frac{d}{dx}\sec u=\sec u \tan u  \frac{du}{dx}$

推導：
$$\frac{d}{dx}\sec x=\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=-(\cos x)^{-2}\frac{d}{dx}\cos x$$
$$=-(\cos x)^{-2}(-\sin x)$$
$$=\frac {1}{\cos x}\frac{\sin x}{\cos x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=\sec x \tan x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
其對應的積分為
$$\int \sec x \tan x\;dx=\sec x+C$$
此外，如果 $u$ 為一可微的 $x$ 函數，則根據鍊鎖律，可得
$$\frac{d}{dx}\sec u=\frac{d}{du}(\sec u)\frac{du}{dx}=\sec u \tan u \frac{du}{dx}$$


範例六：求 $\ln |\sec x+\tan x|$ 微分後的結果。

解：
$$\frac {d}{dx}\ln |\sec x+\tan x|=\frac{1}{\sec x+\tan x}(\sec x \tan x+\sec^2 x)$$
$$=\sec x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$


$\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x \cot x$

對應的積分

$\int \csc x \cot x\;dx=-\csc x+C$

若 $u$ 為一可微的 $x$ 函數，則

$\frac{d}{dx}\csc u=-\csc u \cot u  \frac{du}{dx}$

推導：

$$\frac{d}{dx}\csc x=\frac{d}{dx}(\sin x)^{-1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=-(\sin x)^{-2}\frac{d}{dx}\sin x$$
$$=-\frac{1}{\sin^2 x}\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=-\frac {1}{\sin x}\frac{\cos x}{\sin x}\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=-\csc x \cot x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
其對應的積分為
$$\int \csc x \cot x\;dx=-\csc x+C$$
此外，如果 $u$ 為一可微的 $x$ 函數，則根據鍊鎖律，可得
$$\frac{d}{dx}\csc u=-\csc u \cot u  \frac{du}{dx}$$


範例七：求 $\int \csc^2 x \cot x\;dx$

解：
$$\int \csc^2 x \cot x\;dx=-\int \csc x\;d(\csc x)=-\frac{\csc^2 x}{2}+C$$




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