以內積證明柯西—施瓦茲不等式 | 應用範例

 

Proof of the Cauchy–Schwarz Inequality Using Inner Product

柯西—施瓦茲不等式如下所示：

若 $a_1$，$a_2$，$...$，$a_n$，以及 $b_1$，$b_2$，$...$，$b_n$ 均為實數，則

$(a_1b_1+...+a_nb_n)^2\le (a_1^2+...+a_n^2)(b_1^2+...+b_n^2)$

證明：

令 $\mathbf A$ 與 $\mathbf B$ 為 $n$ 維空間的兩個向量，

$$\mathbf A=(a_1,...,a_n)\;\;\;\;\;\;且\;\;\;\;\;\;\mathbf B=(b_1,...,b_n)$$

已知

$$\mathbf A \cdot \mathbf B=\Vert \mathbf A \Vert \Vert\mathbf B\Vert\cos \theta$$

其中的 $0\le\theta \le \pi$，是 $\mathbf A$ 與 $\mathbf B$ 之間的夾角。 則

$$\cos \theta =\frac{\mathbf A \cdot \mathbf B}{\Vert\mathbf A\Vert\Vert\mathbf B||}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=\frac{a_1b_1+...+a_nb_n}{(a_1^2+...+a_n^2)^{1/2}(b_1^2+...+b_n^2)^{1/2}}$$

又已知

$$\vert \cos \theta \; \vert \le 1$$

所以

$$\frac{\vert a_1b_1+...+a_nb_n\vert}{(a_1^2+...+a_n^2)^{1/2}(b_1^2+...+b_n^2)^{1/2}}\le 1$$

即

$$\vert a_1b_1+...+a_nb_n\vert \le (a_1^2+...+a_n^2)^{1/2}(b_1^2+...+b_n^2)^{1/2}$$

不等式兩邊平方可得

$$(a_1b_1+...+a_nb_n)^2 \le (a_1^2+...+a_n^2)(b_1^2+...+b_n^2)$$

應用範例一：若實數 $x、y、z$ 滿足 $x^2+y^2+z^2=36$，則 $6x+2y+3z$ 的最大值與最小值分別為何？

解：

$$(6x+2y+3z)^2 \le (6^2+2^2+3^2)(x^2+y^2+z^2)$$

所以

$$(6x+2y+3z)^2 \le 49 \times 36$$

$$\vert 6x+2y+3z \vert \le 42$$

即

$$-42 \le 6x+2y+3z \le 42$$

因此，$6x+2y+3z$ 的最大值為 $42$，最小值為 $-42$。

應用範例二：若實數 $x$ 與 $y$ 滿足 $x+2y=6$，則 $x^2+y^2+4x+2y$ 的最小值為何？

解：

$$x^2+y^2+4x+2y=(x+2)^2+(y+1)^2-5$$

由柯西—施瓦茲不等式，可知

$$ [(x+2)+2(y+1) ]^2 \le \left [(x+2)^2+(y+1)^2 \right ]\left [1^2+2^2 \right ]$$

所以

$$(x+2y+4)^2 \le 5\left [(x+2)^2+(y+1)^2 \right ]$$

已知 $x+2y=6$，因此

$$100 \le 5\left [(x+2)^2+(y+1)^2 \right ]$$

即

$$\left [(x+2)^2+(y+1)^2 \right ] \ge 20$$

$$x^2+4x+4+y^2+2y+1 \ge 20$$

$$x^2+y^2+4x+2y \ge 15$$

故 $x^2+y^2+4x+2y$ 的最小值為 $15$

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