正弦電動勢 RLC 串聯電路的電流分析 | 線性二階微分方程應用

作者： Danny Yang
 
Current Analysis of A Series RLC Circuit Driven by A Sinusoidal Voltage Input


如圖一所示，為一正弦電動勢的 RLC 串聯電路。

正弦電動勢 RLC 串聯電路
圖一  正弦電動勢 RLC 串聯電路

假設迴路的電流為 $i$，則電阻 $R$ 的電壓降為 $Ri$，電感 $L$ 的電壓降為 $L\frac{di}{dt}$，電容 $C$ 的電壓降為 $\frac{1}{C}\int i\;dt$。根據 $KVL$，可知
$$Ri+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int i\;dt=E\;\sin \omega t$$
上式等號兩邊對 $t$ 微分，可得
$$R\frac{di}{dt}+L\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{i}{C}=E\omega\cos \omega t$$
整理得
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{di}{dt}+\frac{i}{LC}=\frac {E}{L}\omega \cos \omega t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$
為一線性二階非齊次微分方程 (Second-order Linear Non-homogeneous Differential Equation)。其通解 (General Solution) 的形式為 $i_h+i_P$，其中的 $i_h$ 為齊次解 (Homogeneous Solution)，而 $i_p$ 則是特殊解 (Particular Solution)。


求齊次解 $i_h$

要找出式子 (1) 的齊次解，即是找出下面式子的的通解。
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{di}{dt}+\frac{i}{LC}=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$
而 (2) 的特徵方程式 (Characteristic Equation) 為
$$r^2+\frac{R}{L}r+\frac{1}{LC}=0$$
可得
$$r_1=\frac{-\frac{R}{L}+\sqrt{(\frac{R}{L})^2-\frac{4}{LC}}}{2}\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{-R+\sqrt{R^2-\frac{4L}{C}}}{2L}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$
以及
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;r_2=\frac{-R-\sqrt{R^2-\frac{4L}{C}}}{2L}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$
所以齊次解
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i_h=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$

而由 (3) 與 (4) 可知，要決定 $r_1$ 與 $r_2$，有三種情況需要分析：

情況 1   過阻尼 (Overdamping) $(R^2-\frac{4L}{C} \gt 0)$

可知 $r_1$ 與 $r_2$ 皆是負值，所以 (5) 的 $c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}$ 值，會隨著時間 $t$ 增加而快速減少而最終趨近於 0 。因此，在此情況下 $i_h$ 稱為暫態解 (Transient Solution)，而從後面分析可看到呈現週期性波形型式的特別解 $i_p$ 則稱為穩態解 (Steady-state Solution) 。

情況 2   臨界阻尼 (Critical Damping) $(R^2-\frac{4L}{C} = 0)$

可知 $r_1=r_2$，則
$$i_h=(c_1+tc_2)e^{\frac{-R}{2L}t}$$
同樣地，$(c_1+tc_2)e^{\frac{-R}{2L}t}$ 的值，會隨著 $t$ 增加而快速減少而最終趨近於 0 。

情況 3   欠阻尼 (Underdamping) $(R^2-\frac{4L}{C} \lt 0)$

令 $P=\frac {4L}{C}-R^2$，則
$$r_1=\frac {-R+jP}{2L}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;r_2=\frac {-R-jP}{2L}$$
代入 (5)，可得
$$i_h=c_1e^{\frac {-R+jP}{2L}t}+c_2e^{\frac {-R-jP}{2L}t}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=e^{-\frac{R}{2L}t}\left ( c_1e^{\frac {jP}{2L}t}+c_2e^{\frac {-jP}{2L}t}\right )\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=e^{-\frac{R}{2L}t}\left \{c_1\left [cos\left(\frac{P}{2L}t\right)+j\;sin \left(\frac{P}{2L}t\right)\right ]+c_2\left [cos\left (\frac{P}{2L}t\right)-j\;sin\left (\frac{P}{2L}t\right)\right ] \right \}\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=e^{-\frac{R}{2L}t}\left [ (c_1+c_2)cos \left (\frac{P}{2L}t\right )-j(c_2-c_1)sin \left (\frac {P}{2L}t\right ) \right ]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=Ke^{-\frac{R}{2L}t}cos\left(\frac{P}{2L}t+\theta \right )\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
其中的 $K$ 與 $\theta$ 均為常數。從上式可看出，$i_h$ 一樣會隨 $t$ 的增加而快速衰減至近乎 0。


求特殊解 $i_p$

觀察 (1) 要找到特殊解，可令 
$$i_p=A\cos \omega t+B\sin \omega t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)$$
則
$$i_p'=-\omega A\sin \omega t+B\omega \cos \omega t$$
且
$$i_p''=-\omega^2A\cos \omega t-B\omega^2\sin \omega t$$
將上面三式代入 (1)，可得
$$-A\omega^2\cos \omega t-B\omega^2\sin \omega t+\frac{R}{L}(-\omega A\sin \omega t+B\omega\cos \omega t)+\frac{A}{LC}\cos \omega t+\frac{B}{LC}\sin \omega t=\frac{E\omega}{L}\cos \omega t$$
整理得
$$\cos \omega t \left ( -A\omega^2+\frac{BR\omega}{L}+\frac{A}{LC}\right )+\sin \omega t \left (-B\omega^2-\frac{AR\omega }{L}+\frac{B}{LC}\right ) = \frac{E\omega}{L}\cos \omega t$$
即
$$-A \left (\omega^2-\frac{1}{LC}\right )+B \left (\frac{R \omega}{L}\right )=\frac{E \omega}{L}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(7)$$
$$-A\left (\frac{R \omega}{L}\right )+B \left (\frac{1}{LC}-\omega^2 \right )=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(8)$$
為簡化上面的聯立方程式，令
$$m=\omega^2-\frac{1}{LC}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(9)$$
且
$$n=\frac{R\omega}{L}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(10)$$
則 (7) 與 (8) 可改寫如下：
$$-Am+Bn=\frac{En}{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(11)$$
$$-An-Bm=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(12)$$
解 (11) 與 (12) 聯立方程式，可得
$$A=-\frac{Enm}{R(n^2+m^2)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(13)$$
以及
$$B=\frac{En^2}{R(n^2+m^2)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(14)$$
將 (9)、(10) 代入 (13) 及 (14)，可知
$$A=\frac{-E\frac{R\omega}{L}(\omega^2-\frac{1}{LC})}{R \left [(\frac{R\omega}{L})^2+(\omega^2-\frac{1}{LC})^2 \right ]}$$
$$\;=\frac{-E\frac{\omega^2}{L^2}(\omega L-\frac{1}{\omega C})}{\frac{\omega^2}{L^2}R^2+\frac{\omega^2}{L^2}(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}$$
$$\;=\frac{-E(\omega L-\frac{1}{\omega C})}{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
令
$$X=\omega L-\frac{1}{\omega C}$$
則
$$A=\frac{-EX}{R^2+X^2}$$
又
$$B=\frac{E(\frac{R\omega}{L})^2}{R \left [(\frac{R\omega}{L})^2+(\omega^2-\frac{1}{LC})^2 \right ]}$$
$$\;\;\;\;=\frac{(\frac{\omega}{L})^2ER}{(\frac{\omega}{L})^2\left [R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2\right ]}$$
$$=\frac{ER}{R^2+X^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
接著再將 $A$ 與 $B$ 代入 (6)，即
$$i_p=\frac{-EX}{R^2+X^2}\cos \omega t+\frac{ER}{R^2+X^2}\sin \omega t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;=\frac{E}{\sqrt{R^2+X^2}}\left (\frac{-X}{\sqrt {R^2+X^2}}\cos \omega t+\frac{R}{\sqrt {R^2+X^2}}\sin \omega t\right )$$
令
$$\sin \theta=\frac{X}{\sqrt {R^2+X^2}}，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;cos\;\theta=\frac{R}{\sqrt {R^2+X^2}}$$
則
$$i_p=\frac{E}{\sqrt {R^2+X^2}}\sin(\omega t-\tan^{-1}\frac{X}{R})$$
因為當時間 $t$ 增加，很快地 $i_h$ 就會衰減至趨近於 $0$，整個 $i$ 等式，則會趨近於 $i_p$，即穩態解。而此穩態解還可以採用工程上常用複數方法與相量式的方式快速地得到，說明如下：


以複數方法 (Complex Method) 求取 $i_p$

由 (1) 可知，等號右邊為 $\frac{E\omega }{L}\cos \omega t$，而由尤拉公式 (Euler's Formula) 
$$e^{j\omega t}=\cos \omega t+j\sin \omega t$$
可知
$$\cos \omega t=Re \left \{e^{j\omega t}\right\}$$
其中的 $Re$ 表示實部之意。因此，為求 (1) 的穩態解，我們先考慮如下的式子：
$$\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{di}{dt}+\frac{i}{LC}=\frac{E\omega}{L}e^{j\omega t}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(15)$$
令複數穩態解
$$i_p^*(t)=Ke^{j\omega t}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(16)$$ 
則
$$i_p^{*'}(t)=j\omega Ke^{j\omega t}$$
且
$$i_p^{*''}(t)=-\omega^2K e^{j\omega t}$$
代入 (15) 可得
$$\left (-\omega^2K+\frac{R}{L}j\omega K+\frac{K}{LC}\right )e^{j\omega t}=\frac{E\omega}{L}e^{j\omega t}$$
$$\left ( \frac{1}{LC}-\omega^2+j\frac{R\omega}{L}\right )K=\frac{E\omega}{L}$$
可知
$$K=\frac{E\omega}{L\left (\frac{1}{LC}-\omega^2+j\frac{R\omega}{L}\right )}$$
$$=\frac{E\omega}{\frac{1}{C}-L\omega^2+jR\omega}\;\;$$
$$=\frac{E}{\frac{1}{\omega C}-\omega L+jR}\;\;\;\;$$
令 
$$X=\omega L-\frac {1}{\omega C}$$
則
$$K=\frac{E}{-X+jR}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{E(-X-jR)}{S^2+R^2}$$
代回 (16)，可得
$$i_p^{*}=\frac{E\left (-X-jR\right )}{X^2+R^2}e^{j\omega t}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=\frac{E(-X-jR)}{X^2+R^2}(\cos \omega t+j\sin \omega t)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=\frac{E}{X^2+R^2} [(-X\cos \omega t+R\sin \omega t)+j(-X\sin \omega t-R\cos \omega t) ]\;\;$$
因此
$$i_p=\frac{E}{X^2+R^2} (-X\cos \omega t+R\sin \omega t)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=\frac{E\sqrt{(-X)^2+R^2}}{X^2+R^2}\left (\frac{-X}{\sqrt {(-X)^2+R^2}}\cos \omega t+\frac{R}{\sqrt {(-X)^2+R^2}}\sin \omega t \right )$$
$$=\frac{E}{\sqrt {R^2+X^2}}\sin \left (\omega t-\tan^{-1}\frac{X}{R}\right )\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$


以相量 (Phasor) 方法求取 $i_p$

已知電源電壓 $E\sin\;\omega t$ 的相量式
$$\overline E=E\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(直角坐標表示法)$$
$$\;\;\;\;\;\;=E\angle  0^\circ\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(極坐標表示法)$$
電阻 $R$ 的相量式
$$\overline R=R\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(直角坐標表示法)$$
$$\;\;\;\;\;\;\;=R\angle  0^\circ\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(極坐標表示法)$$
電容抗 $X_C$ 的相量式
$$\overline X_C=-j\;X_C=-j\frac{1}{\omega C}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(直角坐標表示法)$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=X_C\angle  -90^\circ=\frac {1}{\omega C}\angle  -90^\circ\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(極坐標表示法)$$
電感抗 $X_L$ 的相量式
$$\overline X_L=j\;X_L=j\;\omega L\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(直角坐標表示法)$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=X_L\angle  90^\circ=\omega L\angle  90^\circ\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(極坐標表示法)$$
因此，根據歐姆定律 (Ohm's Law)
$$\overline I_p=\frac{\overline E}{\overline R+\overline X_C+\overline X_L}\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=\frac{E}{R-j\frac{1}{\omega C}+j\;\omega L}$$
$$=\frac{E}{R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})}$$
令 $X=\omega L-\frac{1}{\omega C}$，$X$ 在此稱為電抗 (Reactance)，則
$$\overline I_p=\frac{E}{R+jX}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;=\frac{E\angle 0^\circ}{\sqrt{R^2+X^2}\angle \tan^{-1}\frac{X}{R}}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{E}{\sqrt {R^2+X^2}}\angle -\tan^{-1}\frac{X}{R}$$
故
$$i_p=\frac{E}{\sqrt {R^2+X^2}}\sin \left(\omega t-\tan^{-1}\frac{X}{R}\right )$$




最後通解 $i(t)$

$$i=i_h+i_p=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}+\frac{E}{\sqrt {R^2+X^2}}\sin \left(\omega t-tan^{-1}\frac{X}{R}\right )$$
其中 $r_1=\frac{-R+\sqrt{R^2-\frac{4L}{C}}}{2L}$，$r_2=\frac{-R-\sqrt{R^2-\frac{4L}{C}}}{2L}$，且 $X=\omega L-\frac{1}{\omega C}$。

而上式的唯二未知常數 $c_1$ 與 $c_2$ 的求取，則須借助於電路的兩個初始條件。如果初始電流 $i(0)=0$，且電容的初始電荷 $Q(0)=0$，則迴路應用 $KVL$ 所得到的式子
$$Ri+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int i\;dt=E\sin \omega t$$
可改寫成
$$Ri+L\frac{di}{dt}+\frac{Q}{C}=E\sin \omega t$$
當 $t=0$ 時，
$$Ri(0)+Li'(0)+\frac{Q(0)}{C}=0$$
因此，可知
$$i'(0)=0$$
而有了 $i(0)=0$ 以及 $i'(0)=0$ 這兩個初始條件，就可以找出 $c_1$ 與 $c_2$ 的值。


範例：如圖一所示 RLC 串聯電路，若電源電壓 $v(t)=100\sin (1000t)\;V$，R=4 $\Omega$，C=250$\mu$ F，L=1m H，試求穩態時的 $i(t)$、$v_L(t)$ 以及 $v_C(t)$。

解：
$$\overline V=100\angle 0^\circ\;V$$
$$X_L=\omega L=1000\times 1m=1\;\Omega$$
$$X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{1000\times 250\mu}=\frac{1}{1000\times 250\times 10^{-6}}=4\;\Omega$$
又
$$\overline I=\frac{\overline V}{\overline R+\overline X_L+\overline X_C}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=\frac{\overline V}{R+jX_L-jX_C}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;=\frac{\overline V}{R+j(X_L-X_C)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{V\angle 0^\circ}{\sqrt {R^2+(X_L-X_C)^2}\;\angle \tan^{-1}\frac{X_L-X_C}{R}}$$
$$\;\;=\frac{100\angle 0^\circ}{\sqrt {4^2+(1-4)^2}\;\angle \tan^{-1}\frac{1-4}{4}}$$
$$=\frac {100\angle 0^\circ}{5\angle -36.9^\circ}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=20\angle 36.9^\circ\;A\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
因此
$$i(t)=20\sin (1000t+36.9^\circ)\;A$$
又
$$\overline V_L=\overline I\;\overline X_L\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;=20\angle 36.9^\circ\times1\angle 90^\circ$$
$$=20\angle 126.9^\circ\;V\;\;\;\;\;\;$$
所以
$$v_L(t)=20\sin (1000t+126.9^\circ)\;V$$
而
$$\overline V_C=\overline I\;\overline X_C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;=20\angle 36.9^\circ\times 4\angle -90^\circ$$
$$=80\angle -53.1^\circ\;V\;\;\;\;\;\;\;\;$$
故
$$v_C(t)=80\sin (1000t-53.1^\circ)\;V$$



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DC Analysis of a Voltage Divider BJT Bias Circuit and Its Conditions of Approximate Method  如圖一所示為一 分壓偏壓 BJT 放大電路  (Voltage Divider BJT Bias Circuit)，下面我們將分別介紹如何以精確分析法以及近似解方法來進行該類型放大電路的直流分析，同時也會說明使用近似解的先決條件為何。 圖一     分壓偏壓 BJT 放大電路 精確分析法 (Exact Method) 要作直流分析，如圖二所示得先將圖一的 分壓偏壓 BJT 放大電路中 電晶體基極左側部分，進行 戴維寧等效電路 ( Thévenin Equivalent Network) 的轉換，以方便分析。 圖二   分壓偏壓 BJT 放大電路電晶體基級左側部分，進行戴維寧等效電路轉換 根據 戴維寧定理   (Thévenin Theorem)： $$V_{TH} = V_{CC}\times \frac{R_2}{R_1+R_2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ $$R_{TH} = R_1\; ||\; R_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 應用 $KVL$ 於輸入迴路，可知 $$V_{TH} = I_B R_{TH} + V_{BE} + I_E R_E$$     又假設此放大電路的電晶體在 主動區 (Active Region) 操作，且共射極電流增益為 $\beta$，則 $I_E = (1+\beta)I_B$ 代入上式，可得 $$I_B = \frac{V_{TH} - V_{BE}}{R_{TH} + (1+\beta)R_E}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ 接著應用 $KVL$ 於輸出迴路，可知 $$V_{CC} = I_C R_C + V_{CE} + I_E R_E$$ 再將 $I_C = \beta I_B$ 及 $I_E = (1+...
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首數、尾數與位數

作者： Danny Yang
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科學記號 (Scientific Notation) 常被用來簡潔地表示極大或極小的數值以方便分析，其表示法為  $$a \times 10^n \;\;\; (1 \le |\;a\;|<10，n \;為整數 )$$ 例如一個大於 $1$ 的數： $673,000$，若以科學記號來表示，可寫成 $6.73 \times 10^5$，將其取對數，可得 $5+\log\;6.73$，其中 $5$ 為對數值整數的部分，$\log\;6.73$ 為對數值小數的部分。我們可以觀察到 $673,000$ 為 6 位數，剛好是其科學記號表示法中的指數 $5$ 加 $1$ 或是其對數值整數部分 (即 $5$) 加 $1$ 的結果；又一個小於 $1$ 的數：$0.00673$ 的科學記號為 $6.73 \times 10^{-3}$，對數值為 $-3+\log\;6.73$，我們也可以觀察到該數在小數點第 $3$ 位開始數字不為 $0$，剛好是其科學記號表示法中的指數 $-3$ 的絕對值或是其對數值整數部分的絕對值。 因此，若有一正數 $x$ 其科學記號為 $a \times 10^n\;(a\;為正數，\;n\;為整數\;)$，則 $$x=a \times 10^n$$ 上式兩邊取對數，可得 $$log\;x = log\;(a \times 10^n)=log\;a+log\;10^n=n+log\;a$$ 已知 $1\le a <10$，所以 $0 \le \log\;a <1$。上式中的 $n$ 為對數值的整數部分稱為 $\log\;x$ 的 首數  (Characteristic)，而 $\log\;a$ 為對數值小數的部分則稱之為 尾數  (Manttissa)。若 $n$ 為正整數，則 $x$ 的位數為 $n+1$；若 $n$ 為負整數，則 $x$ 在小數點以下第 $|\;n\;|$ 位開始數字不為 $0$。 從另一角度來看，令上式中的 $\log\;a=m$，則  $\log \;x=n+m$，其中的 $m$ 為尾數。 可知 $$x=10^{n+m}$$ 且 $$0 \le m \lt 1$$ 所以 $$n \le n+m \lt n+1$$ $$10^{n} \le 10^{n+m} \lt 10^{n+1...
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MOSFET 共汲極放大電路 (源極隨耦器) 小訊號分析

作者： Danny Yang
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MOSF ET Common Drain Amplifier  (Source Follower): Small Signal Analysis    如圖一所示，為一 MOSFET 共汲極放大電路  (Common Drain Amplifier) ，此電路又被稱為 源極隨耦器 (Source Follower)。其特點是輸入阻抗大，輸出阻抗小，且電壓增益小於 1 但接近於 1 ，故在多級放大器中，常被作為 電壓緩衝級 用來驅動較小的負載輸出。 圖一     MOSFET 共汲極放大電路 MOSFET 共汲極放大電路的小訊號等效電路如圖二所示，其交流特性說明如下： 圖二      MOSFET 共汲極放大電路的 小訊號等效電路 電壓增益 (Voltage Gain) $A_v$ 由圖二可知： $$v_i=v_{gs}+v_o\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 且 $$v_o=g_{m}v_{gs}\left ( R_s // r_o \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 由式子 (2) 可知：  $$v_{gs}=\frac{v_o}{g_m(R_s // r_o)}$$ 代入式子 (1)，可得 $$v_i=v_o\left [1+\frac{1}{g_m(R_S//r_o)}\right ]$$ 所以，電壓增益為 $$A_v=\frac{v_o}{v_i}=\frac{1}{1+\frac{1}{g_m(R_s // r_o)}}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{1+\frac{1}{g_m(\frac{R_s r_o}{R_s+r_o})}}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{1+\frac{R_s+r_o}{g_m R_s r_o}}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{g_mR_sr_o}{g_mR_sr_o+R_s+r_o}$$ 若 $r_o \gt\gt R_s$，將上式分子分母同...
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為什麼理想的 OPA 電壓放大器有虛短路與虛斷路現象 | OPA 電壓放大器增益推導

作者： Danny Yang
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Reasons Behind Virtual Short and Virtual Open Circuits In Ideal Operational Amplifiers 採負回授的運算放大器 (Operational Amplifier，簡稱 OPA 或 OP-Amp) 可作為電壓訊號放大之用。而欲被放大的電壓輸入信號若輸入於 OPA 的負輸入端 ($v_-$) ，所形成的電壓放大器被稱為 反相 OPA 電壓放大器 (Inverting Operational Amplifier)；反之，若電壓輸入信號輸入於 OPA 的正輸入端  ($v_+$)，則被稱為 非反相 OPA 電壓放大器 (Non-inverting Operational Amplifier)。無論是反相 OPA 電壓放大器或是非反相 OPA 電壓放大器，其 OPA 的正負輸入端，在負回授方式連接的情況下皆存在有 虛短路 (Virtual Short) 與 虛斷路 (Virtual Open) 現象。 所謂虛短路指的是理想的 OPA 放大器在負回授的情況下，OPA 的正輸入端與負輸入端的電位差極小，小至接近於零的現象。因此，在簡化分析時常可將二者的電位視為相等，猶如兩端短路ㄧ般；而所謂虛斷路指的是 OPA 放大器在負回授的情況下，流入 OPA 本身輸入端的電流極小，小至接近於零，以致於可將 OPA 內部連接輸入電阻的兩輸入端視為斷路的現象。 以下將分別針對反相 OPA 電壓放大器以及非反相 OPA 電壓放大器，證明虛短路與虛斷路現象之存在。且上述的二現象若存在，則在推導反相與非反相 OPA 電壓放大器的增益公式時，過程將會容易許多。 反相 OPA 電壓放大器 虛短路與虛斷路現象 證明 如圖ㄧ所示，為一理想的反相 OPA 電壓放大器。運算放大器的等效電路則如圖二所示，其中的 $A_{vo}$ 為開迴路增益，且理想的 OPA 其 $A_{vo} \to \infty$ ( 實際的典型值約在 10 萬至 100 萬之間，相當的大 )。 圖ㄧ      反相 OPA 電壓放大器 圖二      運算放大器的等效電路 圖三     反相 OPA 電壓放大器等效電路 圖三所示為反相 OPA 電壓...
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從 0 積到 1，sqrt (x^2+1) 的積分 | 除法定則推導

作者： Danny Yang
Integral of Sqrt(x^2+1) from 0 to 1 求 $\int_0^1 \sqrt {x^2+1}\;dx$ 解： $$I=\int_0^1 \sqrt {x^2+1}\;dx$$ 利用 變數變換 (Change of Variable)，令 $$x=\tan \theta$$ 則 $$\theta = \tan^{-1}x$$ 且 $$dx=\sec^2 \theta\;d\theta$$ 代入 $I$，可得 $$I=\int_{\tan^{-1}0}^{\tan^{-1}1}\sqrt{\tan^2 \theta +1}\sec^2 \theta\;d\theta $$ $$\;\;= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec^3 \theta\;d\theta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 已知 $d(\tan \theta)=\sec^2\theta\;d\theta$ ，所以式子 (1) 可改寫成 $$I =\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec \theta\;d(\tan\theta)$$ 接著將上式應用 分部積分 (Integration by Parts) 公式：  $\int u\;dv=uv-\int v\;du$ ，可得 $$I=\left. \sec \theta \tan \theta \right \rvert_0^{\frac{\pi}{4}}-\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan \theta\;d(\sec\theta)\;\;\; $$ 又已知 $d(\sec \theta)=\sec \theta\tan\theta\; d\theta$ ，所以 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I=\left [ \sec \left (\frac{\pi}{4}\right )\tan \left (\frac{\pi}{4}\right )-\sec (0)\tan (0) \right ]-\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan \theta \c...
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OP-Amp 方波產生電路 | OP-Amp 方波產生電路的數學分析

作者： Danny Yang
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Mathematical Analysis of  Square Wave Generator Using OP-Amp 如圖一所示，為一 OP-Amp 方波 (square wave) 產生電路。由於正回授的運算放大器，其輸出不是正飽和電壓 $+V_{sat}$，就是負飽和電壓 $-V_{sat}$。因此，在作 OPA 方波產生電路的數學分析前，必須先就一開始其輸出為 $+V_{sat}$ 或 $-V_{sat}$ 這兩種輸出情況來分別討論。 圖一     OPA 方波產生電路
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