(sqrt(x^2+4x+5))^(-1) 的積分 | 變數變換法的公式 | 變數變換法的公式證明
%5E(-1)%20%E7%9A%84%E7%A9%8D%E5%88%86%E7%94%A8%E5%88%B0%E7%9A%84%E7%9B%B4%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2.png)
Integral of (sqrt(x^2+4x+5))^(-1) 求 $\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+4x+5}}$ 解： $$I=\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+4x+5}}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;=\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+4x+4+1}}$$ $$\;\;\;=\int \frac{dx}{\sqrt {(x+2)^2+1}}$$ 令 $x+2=tan\; \theta$，則 $\theta = \tan^{-1}(x+2)$，且 $dx = \sec^2\theta\; d\theta$，可得 $$I=\int \frac{\sec^2\theta \;d\theta}{\sqrt{\tan^2\theta + 1}}\;$$ $$=\int \frac{\sec^2\theta \;d \theta}{\sec\; \theta}\;\;\;\;\;$$ $$\;=\int \sec\;\theta \;d \theta\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int \sec\theta \left ( \frac{\sec\theta + \tan \theta}{\sec\theta + \tan \theta}\right ) d \theta$$ $$\;\;\;\;\;=\int \frac{d(\sec \theta + \tan \theta)}{\sec \theta + \tan \theta}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\ln |\sec\theta + \tan\theta | + C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C \in R\;\;$$ 如圖一所示，$\tan \theta = x+2$，$\sec \theta = \sqrt{(x+2)^2+1}$，代入上式，可得 圖一 $tan\; \theta = x+2$ 的直角三角形 $$I=\ln |...