(sqrt(x^2+4x+5))^(-1) 的積分

Integral of (sqrt(x^2+4x+5))^(-1)

求 $\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+4x+5}}$

解：

$$I=\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+4x+5}}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;=\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+4x+4+1}}$$

$$\;\;\;=\int \frac{dx}{\sqrt {(x+2)^2+1}}$$

令 $x+2=tan \theta$，則 $\theta = tan^{-1}(x+2)$，且 $dx = sec^2\theta d\theta$，可得

$$I=\int \frac{sec^2\theta d\theta}{\sqrt{tan^2\theta + 1}}$$

$$=\int \frac{sec^2\theta d \theta}{sec \theta}\;\;\;\;$$

$$\;=\int sec\theta d \theta\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int sec\theta \left ( \frac{sec\theta + tan \theta}{sec\theta + tan \theta}\right ) d \theta$$

$$\;\;\;\;\;\;=\int \frac{d(sec \theta + tan \theta)}{sec \theta + tan \theta}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=ln |sec\theta + tan\theta | + C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C \in R\;\;\;\;$$

如圖一所示，$tan \theta = x+2$，$sec \theta = \sqrt{(x+2)^2+1}$，代入上式，可得

圖一     $tan \theta = x+2$ 的直角三角形   

$$I=\ln |\sqrt {(x+2)^2+1}+x+2|+C$$

$$\;\;=\ln | \sqrt {x^2+4x+5}+x+2|+C$$

■

上面的解法有運用到變數變換法 (integration by substitution) ，可將原本較為複雜的被積分函數轉換為較為容易積分的函數型式以方便求解。變數變換法的公式及證明如下：

$\int_a^b f((g(x))g^{'}(x)dx =\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$

證明：

假設 $F$ 為 $f$ 的反導函數 (antiderivative)，即 $F^{'} = f$，則根據鏈鎖律 (chain rule)，

$F(g(x))^{'} = F^{'}(g(x))g^{'}(x)$

               $=f(g(x))g^{'}(x)$

因此，

$\int_a^b f((g(x))g^{'}(x)dx = \int_a^b F(g(x))^{'}dx$

                                            $=F(g(b))-F(g(a))$

                                $=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$

得證。

■

所以上面的解題過程中，

$I=\int \frac{dx}{\sqrt{(x+2)^2+1}}$

可令 $tan\theta = x+2$，$dx = sec^2\theta d\theta$，則上式可改寫成

$I=\int \frac{sec^2\theta d\theta}{\sqrt{tan^2\theta + 1}}$

整理可得

$I=\int sec\theta d\theta$

由於

$sec\theta=\frac{1}{cos\theta}$

所以

$d(sec\theta) = \frac{sin\theta}{cos^2\theta}d\theta =\frac{1}{cos\theta}\frac{sin\theta}{cos\theta}d\theta = sec\theta tan\theta d\theta$

且因為

$tan \theta = \frac{sin \theta}{cos\theta}$

可知

$d(tan\theta) = \left ( \frac{cos^2\theta + sin^2\theta}{cos^2\theta}\right )d \theta=\frac{d \theta}{cos^2\theta}=sec^2\theta d \theta$

因此，

$d(sec\theta + tan\theta) =  sec\theta tan\theta d\theta + sec^2\theta d \theta$

                          $=sec \theta(sec \theta +tan \theta)d \theta$

所以，

$I= \int sec\theta \left ( \frac{sec\theta + tan \theta}{sec\theta + tan \theta}\right ) d \theta$

$=\int \frac{d(sec \theta + tan \theta)}{sec \theta + tan \theta}$           

                                              $=\ln |sec\theta + tan\theta | + C$             $C \in R$