(sqrt(x^2+4x+5))^(-1) 的積分 | 變數變換法的公式 | 變數變換法的公式證明

Integral of (sqrt(x^2+4x+5))^(-1)

求 $\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+4x+5}}$

解：

$$I=\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+4x+5}}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;=\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+4x+4+1}}$$

$$\;\;\;=\int \frac{dx}{\sqrt {(x+2)^2+1}}$$

令 $x+2=tan\; \theta$，則 $\theta = \tan^{-1}(x+2)$，且 $dx = \sec^2\theta\; d\theta$，可得

$$I=\int \frac{\sec^2\theta \;d\theta}{\sqrt{\tan^2\theta + 1}}\;$$

$$=\int \frac{\sec^2\theta \;d \theta}{\sec\; \theta}\;\;\;\;\;$$

$$\;=\int \sec\;\theta \;d \theta\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int \sec\theta \left ( \frac{\sec\theta + \tan \theta}{\sec\theta + \tan \theta}\right ) d \theta$$

$$\;\;\;\;\;=\int \frac{d(\sec \theta + \tan \theta)}{\sec \theta + \tan \theta}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\ln |\sec\theta + \tan\theta | + C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C \in R\;\;$$

如圖一所示，$\tan \theta = x+2$，$\sec \theta = \sqrt{(x+2)^2+1}$，代入上式，可得

圖一     $tan\; \theta = x+2$ 的直角三角形   

$$I=\ln |\sqrt {(x+2)^2+1}+x+2|+C$$

$$\;\;=\ln | \sqrt {x^2+4x+5}+x+2|+C$$

■

上面的解法有運用到變數變換法 (integration by substitution) ，可將原本較為複雜的被積分函數轉換為較為容易積分的函數型式以方便求解。變數變換法的公式及證明如下：

$\int_a^b f((g(x))g^{'}(x)dx =\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$

證明：

假設 $F$ 為 $f$ 的反導函數 (antiderivative)，即 $F^{'} = f$，則根據鏈鎖律 (chain rule)，

$$F(g(x))^{'} = F^{'}(g(x))g^{'}(x)\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;=f(g(x))g^{'}(x)$$

因此，

$$\int_a^b f((g(x))g^{'}(x)dx = \int_a^b F(g(x))^{'}dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;=F(g(b))-F(g(a))$$

$$=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du\;\;$$

得證。

■

所以上面的解題過程中，

$$I=\int \frac{dx}{\sqrt{(x+2)^2+1}}$$

可令 $\tan\theta = x+2$，$dx = \sec^2\theta \;d\theta$，則上式可改寫成

$$I=\int \frac{\sec^2\theta \;d\theta}{\sqrt{\tan^2\theta + 1}}$$

整理可得

$$I=\int \sec\theta\; d\theta$$

由於

$$\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}$$

所以

$$d(\sec\theta) = \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}\;d\theta =\frac{1}{\cos\theta}\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\;d\theta = \sec\theta\; tan\theta\; d\theta$$

且因為

$$\tan\theta = \frac{\sin \theta}{\cos\theta}$$

可知

$$d(\tan\theta) = \left ( \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos^2\theta}\right )d \theta=\frac{d \theta}{\cos^2\theta}=\sec^2\theta\;d \theta$$

因此，

$$d(\sec\theta + \tan\theta) =  \sec\theta \tan\theta \;d\theta + \sec^2\theta\; d \theta\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\sec \theta(\sec \theta +\tan \theta)d \theta$$

所以，

$$I= \int \sec\theta \left ( \frac{\sec\theta + \tan \theta}{\sec\theta + \tan \theta}\right ) d \theta$$

$$=\int \frac{d(\sec \theta + \tan\theta)}{\sec\theta + \tan\theta}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\ln |\sec\theta +\tan\theta | + C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C \in R $$