CMOS 無穩態多諧振盪器的原理與振盪頻率推導

作者： Danny Yang
Working Principle and Frequency Derivation of a CMOS Astable Multivibrator


如圖一所示，為 CMOS 反閘的無穩態多諧振盪器。其中的 CMOS 反閘 (NOT GATE)，常可用 CMOS 反或閘 (NOR GATE) 代用，如圖二所示。

CMOS 反閘無穩態多諧振盪器
圖一    CMOS 反閘無穩態多諧振盪器

圖二    CMOS 反或閘無穩態多諧振盪器


電路原理

  • 假設 $V_{SS} = 0 V$，如圖三所示，當電源打開瞬間，CMOS 反相器 1 的輸入為邏輯 "0" $($電位 $\simeq V_{SS} = 0 V$ $)$，其輸出則為邏輯 "1" $($電位 $\simeq V_{DD}$$)$，CMOS 反相器 2 的輸出就會是邏輯 "0"。此時，電容 C 開始充電。

CMOS 反閘無穩態多諧振盪器-電容充電
圖三     CMOS 反閘無穩態多諧振盪器-電容充電

  • 充電過程中，電容 C 負極的電位維持為 $0V$ 而其正極的電位會因充電而上升，一旦其值充至大於 CMOS 邏輯閘的臨限觸發電壓 $V_t$  $(\simeq \frac{V_{DD}}{2})$ 瞬間，電容 C 兩極的電位差 $V_C = V_t$ ，CMOS 反相器 1 輸出轉態為邏輯 "0"，且 CMOS 反相器 2 輸出轉態為邏輯 "1" $($電位 $\simeq V_{DD}$$)$。在此瞬間電容 C 正極的電位本來應該變成 $V_t+V_{DD}$，負極則為 $V_{DD}$ $($ 電容器正負極的電位差 $V_C$ 值在該瞬間一樣維持為 $ V_t$$)$。但是由於 CMOS 邏輯閘輸入端有二極體組成的靜電保護電路，如圖五所示，該保護電路會將此時電容 C 的正極的電位限制在約 $V_{DD}$，且電容會開始放電，如圖四所示。

CMOS 反閘無穩態多諧振盪器-電容放電
圖四     CMOS 反閘無穩態多諧振盪器-電容放電

CMOS 邏輯閘的二極體輸入保護電路
圖五    CMOS 邏輯閘的二極體輸入保護電路，會將輸入電壓限制在 $V_{SS} - 0.7 V$ 至 $V_{DD}+0.7V$ 之間

  • 當電容 C 的正極電位因放電導致其值小於 $V_t$ 時，CMOS 反相器 1 的輸出轉態為邏輯 "1"，CMOS 反相器 2 的輸出轉態為邏輯 "0"，此時電容 C 的正極電位本應該為 $V_t - V_{DD}$，負極電位則為 $0 V$。一樣由於 CMOS 邏輯閘輸入端有二極體組成的靜電保護電路，該保護電路會將此時電容 C 的正極的電位限制在約 $V_{SS}(=0V)$，且電容開始充電。
  • 上面的充放電過程開始週期性重複。而振盪電路的輸出為 CMOS 反相器 2 的輸出 $Z$，即為一無穩態振盪的波形，如圖六所示。

圖六    無 $R_S$  電阻的 CMOS 邏輯閘無穩態多諧振盪器 X 點與 Z 點波形



振盪頻率推導


RC 充電

如圖三與圖六所示，設電容開始充電的起始時間為 $t=0$ 且 $v_X(0)=0V$，則當 $t=t_1$ 時充至 $v_X = V_t$ 時 CMOS 邏輯閘 1 的輸出由邏輯 "1" 轉態成邏輯 "0"。這一段 $RC$ 充電過程，由 KVL 可知
$$V_{DD} = iR+v_X\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$
又已知
$$v_X=\frac {1}{C}\int_{0}^{t} i\;dt^{'}+ v_X(0) =\frac {1}{C}\int_{0}^{t} i\;dt^{'} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$
將式子 (2) 代入式子 (1)，可得
$$V_{DD} = iR+\frac {1}{C}\int_{0}^{t} i\;dt^{'}$$
將上式等號兩邊對 $t$ 微分，可得
$$0=\frac{di}{dt}R+\frac{i}{C}$$
整理得
$$\frac{di}{i} = \frac{-dt}{RC}$$
上式等號兩邊積分，即
$$\ln \;|i| = -\frac{t}{RC}+k^{'}$$ 
其中 $k^{'}$ 為一常數。上式可接著改寫成
$$i = k\;e^{\frac{-t}{RC}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$
其中的 $k$ 為一常數。

又已知 $i(0) =\frac{V_{DD}}{R}$ 代入式子 (2)，可得
$$k = \frac{V_{DD}}{R}$$
所以，式子 (3) 可改寫成
$$i=\frac{V_{DD}}{R}e^{\frac{-t}{RC}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$
將式子 (4) 代入式子 (2)，得到充電時
$$v_X(t) =\frac{1}{C}\int_{0}^{t}\frac{V_{DD}}{R}e^{\frac{-t^{'}}{RC}}dt^{'}\;\;\;\;\;$$
$$=\frac{V_{DD}}{RC}\int_{0}^{t}e^{\frac{-t^{'}}{RC}}dt^{'}$$
$$=\left. -V_{DD}\;e^{\frac{-t^{'}}{RC}}\right \rvert_0^t\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=V_{DD}\left ( 1-e^{\frac{-t}{RC}}\right )\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$
又已知充電過程中，$v_X(0)=0$ 且 $v_X(t_1) = V_t $，將後者代入式子 (5)
$$V_t = V_{DD}\left (1-e^{\frac{-t_1}{RC}} \right)$$
$$e^{\frac{-t_1}{RC}}=\frac{V_{DD}-V_t}{V_{DD}}$$
得
$$t_1 = -RC\;ln\; \frac{V_{DD}-V_t}{V_{DD}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)$$


RC 放電

如圖三與圖六所示，設電容開始放電的時間為 $t=0$ 且 $v_X(0)=V_{DD}$，則當 $t=t_2$ 時放至 $v_X = V_t$ 時 CMOS 邏輯閘 1 的輸出由邏輯 "0" 轉態成邏輯 "1"。這一段 $RC$ 放電過程，由 KVL 可知
$$v_X=iR\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(7)$$
$$-\frac{1}{C} \int_{0}^{t}idt^{'} +v_X(0)=iR$$
$$-\frac{1}{C} \int_{0}^{t}idt^{'} +V_{DD}=iR$$
上式等號兩邊對 $t$ 微分，可得
$$-\frac{i}{C}=\frac{di}{dt}R$$
$$\frac{di}{i}=-\frac{dt}{RC}$$
$$i=P\;e^{\frac{-t}{RC}}$$
其中的 $P$ 為一常數。將 $i(0) = \frac{V_{DD}}{R}$ 代入上式，可得
$$P=\frac{V_{DD}}{R}$$
即放電電流  
$$i=\frac{V_{DD}}{R}e^{\frac{-t}{RC}}$$
將上式代入式子 (7)，可得到放電時
$$v_X(t)=V_{DD}\;e^{\frac{-t}{RC}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(8)$$
設 $t=0$ 時電容開始放電，$v_X(t_2) =V_t$ 代入式子 (8) 可得
$$t_2 = -RC\;\ln\;\frac{V_t}{V_{DD}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(9)$$
由式子 (6) 與 (9) 可知振盪週期
$$T=t_1+t_2=-RC \left ( \ln\; \frac{V_{DD}-V_t}{V_{DD}}+\ln\; \frac{V_t}{V_{DD}} \right)$$
$$\;\;\;\;=RC \;\ln\; \left [ \frac{V_{DD}^2}{(V_{DD}-V_t)V_t} \right ]$$  

振盪頻率 
$$f =\frac{1}{T}=\left ( RC\; \ln\; \left [ \frac{V_{DD}^2}{(V_{DD}-V_t)V_t} \right ] \right )^{-1}$$

由 Astable and Monostable Oscillators Table XIV 可知，$V_{DD}$ 值的變動，對振盪頻率 $f$ 的影響不小。如果想要減少振盪器的振盪頻率不受電源電壓變動的影響，則電容與 CMOS 邏輯閘 1 的輸入端可串接一 $R_S$ 電阻，其阻值約為電阻 $R$ 的 2 至 10 倍，如圖七所示。其各波型則如圖八所示。


圖七    加入 Rs 電阻改善 CMOS 無穩態多諧振盪器振盪頻率受電源電壓變動的影響

圖八    加入 Rs 電阻的 CMOS 無穩態多諧振盪器各點波形



加入 Rs 電阻的 CMOS 無穩態多諧振盪器


RC 充電

如圖八所示，設電容開始充電的時間為 $t=0$ 且 $v_X(0) = V_t - V_{DD}$，則當 $t=t_1$ 時充至 $v_X = V_t$ 時 CMOS 邏輯閘 1 的輸出由邏輯 "1" 轉態成邏輯 "0"。這一段 $RC$ 充電過程，由 KVL 可知
$$V_{DD} = iR+v_X\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(10)$$
又已知
$$v_X=\frac {1}{C}\int_{0}^{t} i\;dt^{'} + v_C(0) =\frac {1}{C}\int_{0}^{t} i\;dt^{'} + V_t - V_{DD}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(11) $$
將式子 (11) 代入式子 (10)，可得
$$V_{DD} = iR+\frac {1}{C}\int_{0}^{t} idt^{'} + V_t - V_{DD}$$
將上式等號兩邊對 $t$ 微分，可得
$$0=\frac{di}{dt}R+\frac{i}{C}$$
整理得
$$\frac{di}{i} = \frac{-dt}{RC}$$
即
$$\ln \;|i| = -\frac{t}{RC}+k^{'}$$
其中 $k^{'}$ 為一常數。上式可接著改寫成
$$i = k\;e^{\frac{-t}{RC}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(12)$$
其中的 $k$ 為一常數。

又已知 $i(0) =\frac{V_{DD}-(V_t-V_{DD})}{R}$ 代入式子 (12)，可得
$$k = \frac{2V_{DD}-V_t}{R}$$
所以，式子 (12) 可改寫成
$$i=\left (\frac{2V_{DD}-V_t}{R}\right )e^{\frac{-t}{RC}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(13)$$
將式子 (13) 代入式子 (11)，得到電容充電時
$$v_X(t) =\frac{1}{C}\int_{0}^{t} \left ( \frac{2V_{DD}-V_t}{R} \right ) e^{\frac{-t^{'}}{RC}}dt^{'}+v_C(0)\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=\frac{2V_{DD}-V_t}{RC}\int_{0}^{t}e^{\frac{-t^{'}}{RC}}dt^{'}+(V_t - V_{DD})$$
$$=\left. -(2V_{DD}-V_t)e^{\frac{-t^{'}}{RC}}\right \rvert_0^t + V_t-V_{DD}\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;=-(2V_{DD}-V_t) \left ( e^{\frac{-t}{RC}} - 1 \right ) + V_t-V_{DD}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-(2V_{DD}-V_t)e^{\frac{-t}{RC}}+V_{DD}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(14)$$

已知充電過程，$v_X(0)=V_t-V_{DD}$ 且 $v_X(t_1) = V_t $，將後者代入式子 (14)
$$V_t = -(2V_{DD}-V_t)e^{\frac{-t_1}{RC}}+V_{DD}$$
$$e^{\frac{-t_1}{RC}}=\frac{V_{DD}-V_t}{2V_{DD}-V_t}$$
得
$$t_1 = -RC\;\ln \left ( \frac{V_{DD}-V_t}{2V_{DD}-V_t}\right )\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(15)$$


RC 放電

如圖八所示，設電容開始放電的時間為 $t=0$ 且 $v_X(0)=V_{DD}+V_t$，則當 $t=t_2$ 時會放至 $v_X = V_t$ ，且 CMOS 邏輯閘 1 的輸出由邏輯 "0" 轉態成邏輯 "1"。這一段 $RC$ 放電過程，由 KVL 可知
$$v_X=iR\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(16)$$
又
$$v_X=-\frac{1}{C}\int_0^t idt^{'} +v_X(0) = -\frac{1}{C}\int_0^t idt^{'} + (V_{DD}+V_t)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(17)$$
 將式子 (17) 代入式子 (16)，可得
$$-\frac{1}{C} \int_{0}^{t}i\;dt^{'}+ (V_{DD}+V_t)=iR$$
將上式等號兩邊對 $t$ 微分，得
$$-\frac{i}{C}=\frac{di}{dt}R$$
$$\frac{di}{i}=-\frac{dt}{RC}$$
$$i=P\;e^{\frac{-t}{RC}}$$
其中的 $P$ 為一常數。將 $i(0) = \frac{V_{DD}+V_t}{R}$ 代入上式，可得
$$P=\frac{V_{DD}+V_t}{R}$$
即放電電流  
$$i=\left (\frac{V_{DD}+V_t}{R}\right )e^{\frac{-t}{RC}}$$
將上式代入式子 (17)，可得到放電時
$$v_X(t)=-\frac{1}{C} \int_0^{t} \left ( \frac{V_{DD}+V_t}{R} \right ) e^{\frac{-t^{'}}{RC}}dt^{'}+(V_{DD}+V_t)$$
$$=(V_{DD}+V_t) \left [ e^{\frac{-t}{RC}}-1 \right ] +(V_{DD}+V_t)\;\;$$
$$=(V_{DD}+V_t)e^{\frac{-t}{RC}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(18)\;\;\;\;\;\;\;\;$$
設 $t=0$ 時電容開始放電，$v_X(t_2) =V_t$ 代入式子 (18) 可得
$$V_t = \left ( V_{DD}+V_t \right ) e^{\frac{-t_2}{RC}}$$
$$e^{\frac{-t_2}{RC}}=\frac{V_t}{V_{DD}+V_t}$$
$$t_2 = -RC\;\ln \left ( \frac{V_t}{V_{DD}+V_t} \right )\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(19)$$
由式子 (15) 與 (19)，振盪週期
$$T=t_1+t_2=-RC \left [ ln \left ( \frac{V_{DD}-V_t}{2V_{DD}-V_t} \right ) + ln \left ( \frac{V_t}{V_{DD}+V_t} \right ) \right ]\;\;$$
$$=RC \;\ln \left [ \frac{(2V_{DD}-V_t)(V_{DD}+V_t)}{(V_{DD}-V_t)V_t} \right ]$$     

振盪頻率
$$f =\frac{1}{T}=\left ( RC \;\ln \left [ \frac{(2V_{DD}-V_t)(V_{DD}+V_t)}{(V_{DD}-V_t)V_t} \right ] \right )^{-1}$$

由 Astable and Monostable Oscillators Table XIV 可知，加入串聯 $R_S$ 電阻的CMOS 無穩態多諧振盪器，在 $V_{DD}$ 值的變動時，對振盪頻率 $f$ 的影響比未加入串聯 $R_S$ 電阻小很多。




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Reasons Behind Virtual Short and Virtual Open Circuits In Ideal Operational Amplifiers 採負回授的運算放大器 (Operational Amplifier，簡稱 OPA 或 OP-Amp) 可作為電壓訊號放大之用。而欲被放大的電壓輸入信號若輸入於 OPA 的負輸入端 ($v_-$) ，所形成的電壓放大器被稱為 反相 OPA 電壓放大器 (Inverting Operational Amplifier)；反之，若電壓輸入信號輸入於 OPA 的正輸入端  ($v_+$)，則被稱為 非反相 OPA 電壓放大器 (Non-inverting Operational Amplifier)。無論是反相 OPA 電壓放大器或是非反相 OPA 電壓放大器，其 OPA 的正負輸入端，在負回授方式連接的情況下皆存在有 虛短路 (Virtual Short) 與 虛斷路 (Virtual Open) 現象。 所謂虛短路指的是理想的 OPA 放大器在負回授的情況下，OPA 的正輸入端與負輸入端的電位差極小，小至接近於零的現象。因此，在簡化分析時常可將二者的電位視為相等，猶如兩端短路ㄧ般；而所謂虛斷路指的是 OPA 放大器在負回授的情況下，流入 OPA 本身輸入端的電流極小，小至接近於零，以致於可將 OPA 內部連接輸入電阻的兩輸入端視為斷路的現象。 以下將分別針對反相 OPA 電壓放大器以及非反相 OPA 電壓放大器，證明虛短路與虛斷路現象之存在。且上述的二現象若存在，則在推導反相與非反相 OPA 電壓放大器的增益公式時，過程將會容易許多。 反相 OPA 電壓放大器 虛短路與虛斷路現象 證明 如圖ㄧ所示，為一理想的反相 OPA 電壓放大器。運算放大器的等效電路則如圖二所示，其中的 $A_{vo}$ 為開迴路增益，且理想的 OPA 其 $A_{vo} \to \infty$ ( 實際的典型值約在 10 萬至 100 萬之間，相當的大 )。 圖ㄧ      反相 OPA 電壓放大器 圖二      運算放大器的等效電路 圖三     反相 OPA 電壓放大器等效電路 圖三所示為反相 OPA 電壓...
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從 0 積到 1，sqrt (x^2+1) 的積分 | 除法定則推導

作者： Danny Yang
Integral of Sqrt(x^2+1) from 0 to 1 求 $\int_0^1 \sqrt {x^2+1}\;dx$ 解： $$I=\int_0^1 \sqrt {x^2+1}\;dx$$ 利用 變數變換 (Change of Variable)，令 $$x=\tan \theta$$ 則 $$\theta = \tan^{-1}x$$ 且 $$dx=\sec^2 \theta\;d\theta$$ 代入 $I$，可得 $$I=\int_{\tan^{-1}0}^{\tan^{-1}1}\sqrt{\tan^2 \theta +1}\sec^2 \theta\;d\theta $$ $$\;\;= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec^3 \theta\;d\theta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 已知 $d(\tan \theta)=\sec^2\theta\;d\theta$ ，所以式子 (1) 可改寫成 $$I =\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec \theta\;d(\tan\theta)$$ 接著將上式應用 分部積分 (Integration by Parts) 公式：  $\int u\;dv=uv-\int v\;du$ ，可得 $$I=\left. \sec \theta \tan \theta \right \rvert_0^{\frac{\pi}{4}}-\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan \theta\;d(\sec\theta)\;\;\; $$ 又已知 $d(\sec \theta)=\sec \theta\tan\theta\; d\theta$ ，所以 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I=\left [ \sec \left (\frac{\pi}{4}\right )\tan \left (\frac{\pi}{4}\right )-\sec (0)\tan (0) \right ]-\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan \theta \c...
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OP-Amp 方波產生電路 | OP-Amp 方波產生電路的數學分析

作者： Danny Yang
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Mathematical Analysis of  Square Wave Generator Using OP-Amp 如圖一所示，為一 OP-Amp 方波 (square wave) 產生電路。由於正回授的運算放大器，其輸出不是正飽和電壓 $+V_{sat}$，就是負飽和電壓 $-V_{sat}$。因此，在作 OPA 方波產生電路的數學分析前，必須先就一開始其輸出為 $+V_{sat}$ 或 $-V_{sat}$ 這兩種輸出情況來分別討論。 圖一     OPA 方波產生電路
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