眞趣盎然集

電路接線圖 如圖一所示：

若有一以 $a$ 為 底數 (Base) 的指數 (Exponential)   $$a^b=x  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(a>0，a \ne 1 \;且\; x>0)$$ 則有  $$\;\;\;\;\;\;\;\;b=log_a\; x  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (a\; 稱為底數，x\; 稱為真數 )$$ 其中 對數 (Logarithm) $log_a\; x$ 的意思是：『$x$ 是 $a$ 的幾次方？』，答案是 $b$ 次方，此即為其對數值。例如 $log_2\; 8 $ 表示的是 $8$ 是 $2$ 的幾次方，即 $log_2\; 8 = 3$。從上述也可看出指數與對數是互為逆運算的。而對數常見的應用則是如下所述的對數和差公式，可將原為乘除的運算，轉換為較簡單的加減運算。以下我們將分別推導對數的一些基本性質與法則： 對數的和差公式 ( Logarithmic Sum and Difference Formulas ) 設底數 $a>0$ 且 $a \neq 1$，真數 $x$ 、$y>0$，則 $log_a\; x+log_a \;y = log_a\; xy$ $log_a\; x-log_a\; y = log_a\; \frac{x}{y}$ 推導： 令 $log_a\;x = m$， $log_a\; y = n$，則  $$x=a^m \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y=a^n$$ 將 $x$ 與 $y$ 相乘，可得 $$xy=a^{(m+n)}$$ 即 $$log_a\; xy = log_a\; a^{(m+n)}$$ $$\;\;\;\;\;=m+n$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=log_a\; x + log_a \;y$$ 又將 $x$ 與 $y$ 相除，可得 $$\frac{x}{y} = a^{(m-n)}$$ 即 $$log_a\; \frac{x}{y}=log_a\; a^{(m-n)}$$ $$\;\;\;\;\;=m-n$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=log_a\; x...

Derivation of the Sum Difference Identities in Trigonometry Using Euler's Formula 正弦、餘弦以及正切的和差角公式如下： $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin  \alpha\cos  \beta \pm \cos \alpha \sin \beta $ $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha\cos \beta \mp \sin \alpha\ sin\; \beta$ $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha\; \pm \tan\; \beta}{1 \;\mp \tan  \alpha \tan \beta}$ 推導： 由 尤拉公式 $$e^{ix}= \cos x+i \sin x$$ 可知 $$e^{i(\alpha \pm \beta) }= \cos (\alpha \pm \beta) + i \sin (\alpha \pm \beta)$$ 亦即 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \cos (\alpha \pm \beta) = Re\left \{e^{i(\alpha \pm \beta) }\right \}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 且 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \sin (\alpha \pm \beta) = Im \left  \{e^{i(\alpha \pm \beta) }\right \}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 其中 $Re\{Z\}$ 表示複數 $Z$ 的 實部 (Real Part)，$Im \{Z\}$ 則表示複數 $Z$ 的 虛部 (Imaginary Part)。 又 $$e^{i(\alpha \pm \beta) }= e^{i\alpha}\; e^{\pm i\beta}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\...

一個基本的交通號誌控制電路，可利用 3 位元模數 8 的同步上數計數電路 搭配 時脈產生電路 作計時輸出，再透過 組合邏輯電路 來決定紅黃綠燈何時亮來完成。圖一所示為紅黃綠燈號的動作時序圖，其完整的電路圖則如圖二所示。 圖一   紅綠燈控制電路燈號動作時序圖

已知平面上兩向量 $\overrightarrow a\;$ 與 $\overrightarrow b\;$，其中 $\overrightarrow a = (a_1, \;a_2)$ 且 $\overrightarrow b = (b_1,\;b_2)$，則此二向量所圍成的三角形面積為 $\Delta \;面積\; =\frac{1}{2}\sqrt{|\;\overrightarrow a\;|^2|\;\overrightarrow b\;|^2-(\;\overrightarrow a\;\cdot \overrightarrow  b\;)^2}=\frac{1}{2}\;|\;\overrightarrow a \times \overrightarrow b\;|=  \frac{1}{2}\;|\;\begin{vmatrix}     a_1 & a_2 \\     b_1 & b_2    \end{vmatrix}\;|$

數線上的內分點公式 ( Internal Section Formula ) 圖一   數線上的內分點 P 如圖一所示，$P$ 點是 $\overline{AB}$ 的內分點，其中 $m$，$n$ $>0$ ，則其座標與 $A$、$B$ 兩點座標的關係為： $(x_p, y_p)=(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\;\frac{ny_1+my_2}{m+n})$ 推導： 如圖二所示， 圖二   數線上內分點公式推導的輔助線圖 令 $\overline {AP}$ 的長度為 $mk$，且 $\overline {PB}$ 的長度為 $nk$，則 $\overline {AB}$ 的長度為 $(m+n)k$，其中 $k>0$，可知 $$y_2-y_1=(m+n)k\sin\theta$$ 所以， $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k\sin \theta=\frac{y_2-y_1}{m+n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又 $$x_2-x_1=(m+n)k\cos \theta$$ 可知 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k\cos \theta=\frac{x_2-x_1}{m+n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 已知 $$x_p=x_1+mk\cos \theta$$ 將式子 (2) 代入上式，可得 $$x_p=x_1+\frac{m(x_2-x_1)}{m+n}=\frac{nx_1+mx_2}{m+n}$$ 而 $$y_p=y_1+mk\sin\theta$$ 將式子 (1) 代入上式，則可得 $$y_p=y_1+\frac{y_2-y_1}{m+n}=\frac{ny_1+my_2}{m+n}$$ ■ 範例一 ：$A(6, 3)$ ，B(1, -2)，$P$ 在線段 $\overline{AB}$ 上，且 $\overline {AP}\;:\;\;\overline{PB} =2:3$，則 $P$ 點座標為何 解： $$P(x, y)=\left( \frac{nx_1+mx_2}{m...

圖一   $\;\overrightarrow c \;$ 是 $\;\overrightarrow a \;$ 的正射影 如圖一所示，若 $\overrightarrow c = t \;\;\overrightarrow {b}\;$ 且 $(\;\overrightarrow a - \;\overrightarrow c\;\;)\; \bot \;\overrightarrow b\;$，則 $\;\overrightarrow c\;$ 稱為 $\;\overrightarrow a\;$ 在 $\;\overrightarrow b\;$ 上的 正射影 (Orthogonal Projection)。而 $\;\overrightarrow c\;$ 與 $\;\overrightarrow a\;$ 、$\;\overrightarrow b\;$ 的關係如下： $proj_{\;\overrightarrow b\;}\;\overrightarrow a\; = \;\overrightarrow c \;= \frac{(\;\overrightarrow a \;\cdot \;\overrightarrow b\;)\;\overrightarrow b\;}{|\; \overrightarrow b\; |^2} =\frac{(\;\overrightarrow a \;\cdot \;\overrightarrow b\;)\;\overrightarrow b\;}{ \overrightarrow b\; \cdot \;\overrightarrow b}$ 推導一： 已知 $\;\overrightarrow b\;$ 的單位向量為 $\frac{\overrightarrow b}{|\;\overrightarrow b\;|}$，$\;\overrightarrow c = t \;\;\overrightarrow {b}\;$，$t$  為正實數，則 $$\overrightarrow c = |\;\overrightarrow a \;|\cos \theta \;\frac{\overrightarrow b}{|\;\overrightarrow b\;|}$$ 將上式的分子分母同乘以 ...

Analysis of  OP-amp Integrator Circuit  如圖一所示，為一運算放大器與 $RC$ 組成的積分電路，一般稱之為 米勒積分器 (Miller Integrator) 或 反相積分器 (Inverting Integrator)。此積分電路可輸出正比於輸入電壓對時間的積分值電壓。其用途常見於訊號處理、控制系統以及感測器訊號轉換等。 圖一  OP AMP 積分電路