眞趣盎然集

電路接線圖 如圖一所示：

若有一以 $a$ 為 底數 (Base) 的指數 (Exponential)   $$a^b=x  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(a>0，a \ne 1 \;且\; x>0)$$ 則有  $$\;\;\;\;\;\;\;\;b=log_a x  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (a\; 稱為底數，x\; 稱為真數 )$$ 其中 對數 (Logarithm) $log_a x$ 的意思是：『$x$ 是 $a$ 的幾次方？』，答案是 $b$ 次方，此即為其對數值。例如 $log_2 8 $ 表示的是 $8$ 是 $2$ 的幾次方，即 $log_2 8 = 3$。從上述也可看出指數與對數是互為逆運算的。而對數常見的應用則是如下所述的對數和差公式，可將原為乘除的運算，轉換為較簡單的加減運算。以下我們將分別推導對數的一些基本性質與法則： 對數的和差公式 ( Logarithmic Sum and Difference Formulas ) 設底數 $a>0$ 且 $a \neq 1$，真數 $x$ 、$y>0$，則 $log_a x+log_a y = log_a xy$ $log_a x-log_a y = log_a \frac{x}{y}$

正弦、餘弦以及正切的和差角公式如下： $sin(\alpha \pm \beta) = sin \alpha cos \beta \pm cos \alpha sin \beta $ $cos(\alpha \pm \beta) = cos \alpha cos \beta \mp sin \alpha sin \beta$ $tan(\alpha \pm \beta) = \frac{tan \alpha \pm tan \beta}{1 \mp tan \alpha tan \beta}$

一個基本的交通號誌控制電路，可利用 3 位元模數 8 的同步上數計數電路 搭配 時脈產生電路 作計時輸出，再透過 組合邏輯電路 來決定紅黃綠燈何時亮來完成。圖一所示為紅黃綠燈號的動作時序圖，其完整的電路圖則如圖二所示。 圖一   紅綠燈控制電路燈號動作時序圖

已知平面上兩向量 $\overrightarrow a\;$ 與 $\overrightarrow b\;$，其中 $\overrightarrow a = (a_1, \;a_2)$ 且 $\overrightarrow b = (b_1,\;b_2)$，則此二向量所圍成的三角形面積為 $\Delta \;面積\; =\frac{1}{2}\sqrt{|\;\overrightarrow a\;|^2|\;\overrightarrow b\;|^2-(\overrightarrow a\;\cdot \overrightarrow  b\;)^2}=\frac{1}{2}\;|\;\overrightarrow a \times \overrightarrow b\;|=  \frac{1}{2}\;|\;\begin{vmatrix}     a_1 & a_2 \\     b_1 & b_2    \end{vmatrix}\;|$

數線上的內分點公式 ( Internal Section Formula ) 圖一   數線上的內分點 P 如圖一所示，$P$ 點是 $\overline{AB}$ 的內分點，其中 $m$，$n$ $>0$ ，則其座標與 $A$、$B$ 兩點座標的關係為： $(x_p, y_p)=(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\;\frac{ny_1+my_2}{m+n})$

圖一   $\;\overrightarrow c \;$ 是 $\;\overrightarrow a \;$ 的正射影 如圖一所示，若 $\overrightarrow c = t \;\;\overrightarrow {b}\;$ 且 $(\;\overrightarrow a - \;\overrightarrow c\;\;)\; \bot \;\overrightarrow b\;$，則 $\;\overrightarrow c\;$ 稱為 $\;\overrightarrow a\;$ 在 $\;\overrightarrow b\;$ 上的 正射影 (Orthogonal Projection)。而 $\;\overrightarrow c\;$ 與 $\;\overrightarrow a\;$ 、$\;\overrightarrow b\;$ 的關係如下：   $proj_{\;\overrightarrow b\;}(\;\overrightarrow a\;) = \;\overrightarrow c \;= \frac{(\;\overrightarrow a \;\cdot \;\overrightarrow b\;)\;\overrightarrow b\;}{|\; \overrightarrow b\; |^2} $

Analysis of  OP-amp Integrator Circuit  如圖一所示，為一運算放大器與 $RC$ 組成的積分電路，一般稱之為 米勒積分器 (Miller Integrator) 或 反相積分器 (Inverting Integrator)。此積分電路可輸出正比於輸入電壓對時間的積分值電壓。其用途常見於訊號處理、控制系統以及感測器訊號轉換等。 圖一  OP AMP 積分電路