運算放大器積分電路分析

Analysis of OP-amp Integrator Circuit 

如圖一所示，為一運算放大器與 $RC$ 組成的積分電路，一般稱之為米勒積分器 (Miller Integrator) 或反相積分器 (Inverting Integrator)。此積分電路可輸出正比於輸入電壓對時間的積分值電壓。其用途常見於訊號處理、控制系統以及感測器訊號轉換等。

圖一  OP AMP 積分電路

描述理想 OP AMP 積分電路行為的公式推導

圖二  理想 OP AMP 積分電路電流示意圖

圖二所示為理想運算放大器組成的積分電路電流示意圖，由於理想運算放大器的輸入阻抗趨近無窮大，流入其輸入端的電流趨近 $0$， 故應用 $KCL$ 可知：

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i_R=i_C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

又已知具有負回授的理想 OP AMP 的正負輸入端，存在有虛短路的現象。因為負輸入端接地，意即

$$v_+=v_-=0V$$

又 $i_R = \frac{v_i-0}{R}=\frac{v_i}{R}$ 且 $i_c = C\;\frac{dv_c}{dt}=C\;\frac{-dv_o}{dt}$ 代入式子 (1)，可得

$$\frac{v_i}{R} =-C \;\frac{dv_o}{dt}$$

即

$$dv_o = -\frac{1}{RC}\;v_i\;dt$$

上式兩邊積分，可得

$$\int_0^t dv_o=-\frac{1}{RC}\int_0^tv_i\;dt^{'}$$

$$v_o(t)-v_o(0) = -\frac{1}{RC}\int_0^tv_i\;dt^{'}$$

$$v_o(t) = -\frac{1}{RC}\int_0^tv_i\;dt^{'}+v_o(0)$$

已知 

$$v_o(0) = -v_c(0)$$

亦即

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;v_o(t) = -\frac{1}{RC}\int_0^tv_i\;dt^{'}-v_c(0)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$

其中的 $v_c(0)$ 是電容 $C$ 的初始電壓，而 $RC$ 值稱為積分時間常數 (Integration Time Constant)。

結論：由式子 (2) 可清楚看出，此電路的輸出電壓正比於輸入電壓對時間的積分的負值。所以，輸入方波，OP AMP 積分電路可以將其轉換成三角波輸出。輸入正弦波，OP AMP 積分電路則可以將其轉換成餘弦波輸出。

實用的 OP AMP 積分電路

上面所述為理想的OP AMP 積分電路的行為，然而實際的 OP AMP，如圖四所示，其兩輸入端間存在有不為零的直流偏移 (DC Offset) $V_{IOS}$。且如圖五所示，其中的 $I_{+} \neq I_{-} \neq 0$，存在有輸入偏置電流 (Input Bias Current)  $I_{IB} (=\frac{I_{+}+I_{-}}{2})$，與理想的情況並不相同。

圖四  實際的 OP AMP 兩輸入端間存在有不為零的直流偏移

圖五  實用積分電路中 OP AMP 的輸入電流 $I_{+} \neq I_{-} \neq 0$                 

在沒有輸入訊號的情況下，若 OP AMP 輸入端存在有直流偏移電壓，電容 $C$ 會阻擋直流電流流過，電容呈現開路，整個電路變成開迴路 (Open Loop)，在極大的 OP AMP 開路增益下，很容易就會輸出飽和電壓。而輸入偏置電流，依照其實際流動方向也會對電容 $C$ 充電或放電，一樣產生額外的輸出偏移誤差電壓。

而在有輸入訊號的情況下，輸入偏置電流還會在輸入端產生額外的偏移壓降，進而增加輸出偏移誤差。直流偏移電壓，也會造成平均值為 0 的輸入電壓訊號在輸入積分器後使得其輸出飽和。 最終，直流偏移與輸入偏置電流這兩個因素會貢獻積分器輸出誤差電壓訊號，造成積分器輸出波形失真。

解決方法：如圖六所示，在 OP AMP 正輸入端串接一個 $R_1 (= R // R_f)$ 電阻到地，確保從正輸入端與負輸入端看出去的等效電阻是相同的，使得輸入偏移電流 (Input Offset Current) $I_{os}(=|I_{+}-I_{-}|)$ 能減少或接近 0 以減少 OP AMP 輸入端的直流偏移。另外再將一個高阻值的電阻 $R_f$ 與電容 $C$ 並聯，避免輸入端的直流偏移造成積分器輸出誤差訊號。

圖六  實務上的運算放大器積分電路

如圖六所示，為簡化分析一樣假設此負回授 OP AMP 兩輸入端存在有虛短路，且 $I_{+} = I_{-} = 0$。根據 $KVL$，

$$i_R = i_C+i_{RF}$$

即

$$\frac{v_{in}(t)}{R} = -C \frac{dv_o(t)}{dt}-\frac{v_o(t)}{R_f}$$

將上面的微分方程式作拉普拉斯轉換 (Laplace Transform) 可得

$$\frac{V_{in}(s)}{R} = -C\left [ sV_o(s)-v_o(0) \right] -\frac{V_o(s)}{R_f}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=V_o(s)\left [-sC-\frac{1}{R_f}\right ]+Cv_o(0)$$

即

$$V_o(s) =\frac{V_{in}(s)/R-Cv_o(0)}{-sC-1/R_f}$$

$$\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{V_{in}(s)}{sRC-R/R_f}+\frac{C}{sC+1/R_f}v_o(0)$$

$$\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{1}{RC}\;\frac{V_{in}(s)}{(s-\frac{1}{R_fC})}+\frac{1}{s+\frac{1}{R_fC}}v_o(0)$$

將上式作拉普拉斯逆轉換 (Inverse Laplace Transform) 可得

$$v_o(t)=-\frac{1}{RC}\int_0^te^{\frac{1}{R_fC}(t-t^{'})}f(t^{'})+e^{-\frac{1}{R_fC}t}v_o(0)$$

若 $R_f >>1$，則上式變成

$$v_o(t)=-\frac{1}{RC}\int_0^tf(t^{'})dt^{'}+v_o(0)$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{1}{RC}\int_0^tf(t^{'})dt^{'}-v_c(0)$$

與式子 (2) 是一樣的。

實用的 OP AMP 積分電路頻率響應

如圖六所示，實用的 OP AMP 積分電路的電壓增益如下：

$$A_v (j\omega)= - \frac{R_f // \frac{1}{j\omega C}}{R}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{\frac{\frac{\;R_f\;}{j \omega C}}{R_f+\frac{1}{j \omega C}}}{R}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{\frac{\;R_f\;}{1+j \omega CR_f}}{R}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=- \frac{\frac{\;R_f\;}{R}}{1+j \omega CR_f}$$

所以

$$ |A_v (j\omega)|=\left| \frac{\frac{\;R_f\;}{R}}{\sqrt {1+ (\omega CR_f)^2}}\right |$$

增益 $A_v$ 若以 dB 為單位，則

$$ |A_v (j\omega)| (dB) = 20 Log \left| \frac{\frac{\;R_f\;}{R}}{\sqrt {1+ (\omega CR_f)^2}}\right |\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$

可知直流增益為 $20 Log \frac{R_f}{R}$。若要找出增益減少 3 dB 處的截止頻率 (cut-off frequency) $f_c$，已知 $\omega_c = 2\pi f_c$，令 $\omega_c CR_f = 1$ ，即

$$f_c =\frac{1}{2\pi R_f C}$$

接著，來找出增益為 1 或 0 dB 的頻率 $f_{0dB}$，可令式子 (3) 中的

$$\frac{R_f}{R}=\sqrt{1+(\omega_{0dB} \;C R_f)^2}$$

$$\frac{R_f^2}{R^2}=1+(\omega_{0dB}\; C R_f)^2$$

$$\omega_{0dB}^2 = \frac{R_f^2-R^2}{R_f^2 C^2 R^2}$$

$$\omega_{0dB}=\frac{\sqrt{R_f^2-R^2}}{R_fRC}$$

已知 $R_f >> R$，則

$$\omega_{0dB}\simeq \frac{\sqrt{R_f^2}}{R_f RC}=\frac{1}{RC}$$

意即

$$f_{0dB}=\frac{1}{2\pi RC}$$

實用的 OP AMP 積分器的頻率響應圖，如圖七所示：

圖七  實用的 OP AMP 積分器的頻率響應圖

當輸入訊號頻率 $f$ 介於 $\frac{1}{2\pi R_f C}$ 與 $\frac{1}{2\pi R C}$ 之間，積分器可正常運作；但是當 $f$ 小於  $\frac{1}{2\pi R_f C}$ 時，此電路就會變成低通濾波器 (Low-pass filter, LPF)。

參考資料

• Linear Integrated Circuits: Unit II: Characteristics of Op-amp
• 輸入偏置電流對精確測量的重要性

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