眞趣盎然集

Derivatives of Trigonometric Functions   三角函數在數學、物理學以及工程學上均佔有極重要的角色。本文在此主要說明三角函數導數 (Derivative) 的推導以及其對應的積分公式。首先，$\sin x$ 與 $\cos x$ 導數的推導，我們將利用尤拉公式 (Euler's Formula) 來完成。其餘的三角函數的導數，則會應用微分法則與三角函數等式來得到。 $\frac{d}{dx}\;\sin x=\cos x$ 對應的積分 $\int \cos x\;dx=\sin x+C$ 若 $u$ 為一可微的 $x$ 函數，則 $\frac{d}{dx} \sin u=\cos u \frac{du}{dx}$ 推導： 由尤拉公式 $$e^{ix}=\cos x+i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\forall\;x\in R$$ 可知 $$\sin x=\mathcal {Im}\left \{e^{ix}\right \}$$ 其中的 $\mathcal {Im}\{Z\}$ 表示複數 $Z$ 虛部 (Imaginary Part) 的意思。因此， $$\frac{d}{dx}\;\sin x=\frac{d}{dx}\;\mathcal {Im}\left \{e^{ix}\right \}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;=\mathcal {Im}\left \{\frac{d}{dx}\;e^{ix}\right \}$$ $$=\mathcal {Im}\left \{ie^{ix}\right \}\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\mathcal {Im}\{i(\cos x+i\;\sin x)\}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\mathcal {Im}\{-\sin x+i\;\cos x \}$$ $$=\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ 其對應的積分為 $$\int \cos x\;dx=\sin x+C$$ 此外，如果 $u$ 為一可微的 $x$ 函數 ( 即 $u=f...

餘弦定理 (Law of Cosines) 敘述如下： 三角形 $ABC$ 中，若 $\angle A$ 的對邊長度為 $a$，$\angle B$ 的對邊長度為 $b$，$\angle C$ 的對邊長度為 $c$，則 $a^2=b^2+c^2-2bc \cos \angle A$ $b^2=a^2+c^2-2ac \cos \angle B$ $c^2=a^2+b^2-2ab \cos \angle C$ 推導： 如圖一所示的三角形 $ABC$， 圖一   (a) $\angle C$ 為銳角時的三角形 $ABC$，  (b) $\angle C$ 為鈍角時的三角形 $ABC$ (1) 當 $\angle C$ 為銳角 (Acute Angle) 時： 如圖二所示，自頂點 $A$ 劃一條垂直於 $\overline {BC}$ 的線，垂足為 $D$，則  $\overline {CD}=b\cos \angle C$， $\overline {AD}=b\sin \angle C$，且可知 $\overline {BD}=a-b\cos \angle C$。 圖二    $\angle C$ 為銳角的三角形 $ABC$ 將直角三角形 $ABD$，應用 畢氏定理 (Pythagorean Theorem) 可得 $$c^2=(a-b\cos \angle C)^2+(b\sin \angle C)^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;=a^2-2ab\cos \angle C+b^2\cos^2 \angle C+b^2 \sin^2 \angle C$$ $$=a^2-2ab\cos \angle C+b^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ (2) 當 $\angle C$ 為鈍角 (Obtuse Angle) 時： 如圖三所示，自頂點 $A$ 劃一條垂直於 $\overline {BC}$ 的延伸線，垂足為 $D$，則 $\overline {CD}=b\cos (\pi-\angle C)=-b\cos \angle C$，$\overline {AD}= b\sin (...

Derivation of the Sum Difference Identities in Trigonometry Using Euler's Formula 正弦、餘弦以及正切的和差角公式如下： $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin  \alpha\cos  \beta \pm \cos \alpha \sin \beta $ $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha\cos \beta \mp \sin \alpha\ sin\; \beta$ $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha\; \pm \tan\; \beta}{1 \;\mp \tan  \alpha \tan \beta}$ 推導： 由 尤拉公式 $$e^{ix}= \cos x+i \sin x$$ 可知 $$e^{i(\alpha \pm \beta) }= \cos (\alpha \pm \beta) + i \sin (\alpha \pm \beta)$$ 亦即 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \cos (\alpha \pm \beta) = Re\left \{e^{i(\alpha \pm \beta) }\right \}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 且 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \sin (\alpha \pm \beta) = Im \left  \{e^{i(\alpha \pm \beta) }\right \}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 其中 $Re\{Z\}$ 表示複數 $Z$ 的 實部 (Real Part)，$Im \{Z\}$ 則表示複數 $Z$ 的 虛部 (Imaginary Part)。 又 $$e^{i(\alpha \pm \beta) }= e^{i\alpha}\; e^{\pm i\beta}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\...

Integral of x sin^-1 x 求 $\int x \sin^{-1}x\;dx$ 解 ： 令 $$I = \int x \sin^{-1}x\;dx$$ $$\;\;\;\;\;\;=\int \sin^{-1}x\;d(\frac{x^2}{2})$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\int \sin^{-1}x\;d(x^2)$$ 上式利用分部積分 (Integration by parts)，可得 $$I =\frac{1}{2}(\sin^{-1}x)(x^{2})-\frac{1}{2}\int x^2d(sin^{-1}x)$$ 因為 $$\sin (sin^{-1}x)=x$$ 將上式等號兩邊微分，可得 $$\cos (\sin^{-1}x)d(sin^{-1}x) = dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 圖一     描述 $\sin (sin^{-1}x) = x$，$\cos (sin^{-1}x) = \sqrt {1-x^2}$  關係式的直角三角形 然而如圖一所示，可知 $$\cos (\sin^{-1}x) = \sqrt {1-x^2}$$ 代入式子 (1)  可得 $$\sqrt {1-x^2}\;d(\sin^{-1}x) = dx$$ 即 $$d(\sin^{-1}x)=\frac{dx}{\sqrt {1-x^2}}$$ 所以， $$I=\frac{x^2}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1-x^2}dx$$ 接著令 $x=\sin \theta$，則 $\theta = \sin^{-1}x$，且 $dx = \cos \theta \;d\theta$，因此上式可改寫成 $$\;\;I=\frac{x^2}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{2}\int \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}\cos \theta\; d \theta$$ $$=\frac{x^2}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{2}\int \sin^2 \theta \;d \theta\;\;\;\...

  $A\;cos\;\omega t+B\;sin\;\omega t$ 可簡化成單一的餘弦函數，此方法稱為 正餘弦函數疊合 ( Superposition of Sine and Cosine Functions ) ，其簡化後的結果如下所示：  $A\;cos\;\omega t+B\;sin\;\omega t = \sqrt{A^2+B^2}\;cos(\omega t-tan^{-1}\frac{B}{A})$ 接下來我們將分別以 標準的三角公式 以及 相量 (phasor) 來推導此公式。 以標準的三角公式推導 $A\;cos\;\omega t+B\;sin\;\omega t $ 可改寫成如下的式子： $$A\;cos\;\omega t+B\;sin\;\omega t =\sqrt{A^2+B^2}\;(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\;cos\;\omega t+\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\;sin\;\omega t)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又已知標準的三角公式， $$cos\;x\;cos\;y+sin\;x\;sin\;y = cos(x-y)$$ 因此，如圖一所示，令 $$cos\;\theta = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}$$ 且 $$sin\;\theta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}$$ 則 $$tan\;\theta = \frac{B}{A}$$ 圖一     鄰邊長度為 A，對邊長度為 B 的直角三角形 所以，式子 (1) 可進一步改寫成 $$A\;cos\;\omega t+B\;sin\;\omega t = \sqrt{A^2+B^2}\;(cos\;\omega t \;cos\;\theta + sin\;\omega t\; sin\;\theta)\;\;\;\;\;\;$$ $$= \sqrt{A^2+B^2}\;cos(\omega t-\theta)\;$$ 其中的  $\theta = tan^{-1}\frac{B}{A}$。 以相量 (Phasor) 推導 由尤拉公式 $$e^{iz}=cos\...

  sine 的三倍角公式如下： $$\sin 3x = 3\sin x-4\sin^3 x$$ 以下將分別以角度加法公式以及尤拉公式推導 sine 的三倍角公式。 以角度加法公式推導 sine 的角度加法公式如下所示： $$\sin (A+B) = \sin A\cos B+\cos A\sin B$$ 所以 $$\sin 3x = \sin (2x+x) = \sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又已知 $$\sin 2x = 2\sin x\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ $$\cos 2x = 1-2\sin^2 x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ 將式子 (2) 與 (3) 代入式子 (1) 可得 $$\sin 3x = (2\sin x\cos x)\cos x+(1-2\sin^2 x)\sin x\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\sin x\cos^2 x+\sin x-2\sin^3 x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$ 又已知 $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$，代入式子 (4)，即可得 $$\sin 3x = 2\sin x-2\sin^3 x+\sin x-2\sin^3 x\;$$ $$=3\sin x-4\sin^3 x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ 以尤拉公式推導 已知尤拉公式 (Euler’s Formula) $$e^{ix} = \cos x+i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$ $$e^{-ix} = \cos x-i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)$$ 其中 $i = \sqrt{-1}$。 由式子 (5) 與 (6) 可得 $$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}...

  常見的 $sine$ 二倍角公式有兩種形式，首先第一種形式 $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ 是基本的形式，而如下所示為另一形式的 sine 二倍角公式，則可由基本形式根據三角函數的性質即可推導出。 $\sin 2x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}$ 以下將分別以角度加法公式以及尤拉公式來推導 sine 的二倍角公式。 以角度加法公式推導 已知 sine 的角度加法公式如下所示： $$\sin (A+B) = \sin A\cos B+\cos A\sin B$$ 所以 $$\sin 2x = \sin (x+x) = \sin x \cos x+\cos x\sin x = 2\sin x\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又式子 (1) 可改寫成 $$\sin 2x =2\sin x\frac{\cos^2 x}{\cos x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;= \cos^2 x\;\left (\frac{2\sin x}{\cos x}\right )$$ $$\;\;\;=\frac{1}{\sec^2 x}(2\tan x)$$ $$=\frac{2\tan x}{\tan^2 x+1}\;\;\;$$ 上面式子的推導使用到的三角函數等式與性質有： $\cos^2 x = \frac{1}{\sec^2 x}$、$\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ 以及 $\sec^2 x = \tan^2 x+1$。 以尤拉公式推導 已知尤拉公式 (Euler's formula) $$e^{ix} = \cos x+i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 且 $$e^{-ix} = \cos x-i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ 其中 $i=\sqrt{-1}$。 由式子 (2) 與 (3) 可得 $$\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\...

cosine 的三倍角公式如下所示： $$\cos 3x = 4\cos^3 x-3\cos x$$ 以下將分別以角度加法公式以及尤拉公式推導 cosine 的三倍角公式。 以角度加法公式推導 $\cos 3x$ 公式 cosine 的角度加法公式如下所示： $$\cos (A+B) = \cos A\cos B-\sin A\sin B$$ 所以 $$\cos 3x = \cos (2x+x) = \cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;  (1)$$ 已知 $$\cos 2x = 2\cos^2 x-1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ $$\sin 2x=2\sin x\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ 將式子 (2) 與 (3) 代入式子 (1) 可得 $$\cos 3x = (2\cos^2 x-1)\cos x-(2\sin x\cos x)\sin x\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$=2\cos^3 x-\cos x-2\sin^2 x\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (4)$$ 又已知  $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ 代入式子 (4)，可得 $$\cos 3x = 2\cos^3 x-\cos x-2(1-\cos^2 x)\cos x$$ $$=4\cos^3 x-3\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$                         以尤拉公式推導  $\cos 3x$ 公式 已知尤拉公式 (Euler’s Formula) $$e^{ix} = \cos x+i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;...

$cosine$ 二倍角公式有幾種形式，首先 $$cos\;2x = cos^2x-sin^2x$$ 是基本的形式，常見的其它形式的 $cosine$ 二倍角公式，可由其基本形式根據三角函數性質即可推導出。如下所示為其它常見的 $cosine$ 二倍角公式： $$cos\;2x = 2\;cos^2x-1$$ $$cos\;2x = 1-2\;sin^2x$$ 以及 $$cos\;2x = \frac{1-tan^2x}{1+tan^2x}$$ 以下將分別以角度加法公式以及尤拉公式推導 $cosine$ 二倍角公式。 以角度加法公式推導 $cosine$ 的角度加法公式如下所示： $$cos(A+B) = cos\;A\;cos\;B-sin\;A\;sin\;B$$ 所以 $$cos\;2x = cos(x+x) = cos\;x\;cos\;x-sin\;x\;sin\;x = cos^2x-sin^2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又已知 $$cos^2x+sin^2x = 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 則由式子 (2) 可知 $$sin^2x = 1-cos^2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ 及 $$cos^2x = 1-sin^2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$ 將式子 (3) 以及式子 (4) 分別代入式子 (1) 就可得到 $$cos\;2x = 2 \;cos^2x-1$$ 且 $$cos\;2x = 1-2\;sin^2x$$ 又式子 (1) 也可改寫成 $$cos\;2x = cos^2x(1-\frac{sin^2x}{cos^2x})$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= cos^2\;x(1-tan^2x)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{sec^2x}(1-tan^2x)$$ $$=\frac{1-tan^2x}{1+tan^2x}$$ 上面式子的推導使用到的性質之一是 $sec^2x = 1+tan^2x$ 等式。 以尤拉公式推導 已知尤拉...