數線上的分點公式
數線上的內分點公式 ( Internal Section Formula ) 圖一 數線上的內分點 P 如圖一所示，$P$ 點是 $\overline{AB}$ 的內分點，其中 $m$，$n$ $>0$ ，則其座標與 $A$、$B$ 兩點座標的關係為： $(x_p, y_p)=(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\;\frac{ny_1+my_2}{m+n})$ 推導： 如圖二所示， 圖二 數線上內分點公式推導的輔助線圖 令 $\overline {AP}$ 的長度為 $mk$，且 $\overline {PB}$ 的長度為 $nk$，則 $\overline {AB}$ 的長度為 $(m+n)k$，其中 $k>0$，可知 $$y_2-y_1=(m+n)k\sin\theta$$ 所以， $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k\sin \theta=\frac{y_2-y_1}{m+n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又 $$x_2-x_1=(m+n)k\cos \theta$$ 可知 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k\cos \theta=\frac{x_2-x_1}{m+n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 已知 $$x_p=x_1+mk\cos \theta$$ 將式子 (2) 代入上式，可得 $$x_p=x_1+\frac{m(x_2-x_1)}{m+n}=\frac{nx_1+mx_2}{m+n}$$ 而 $$y_p=y_1+mk\sin\theta$$ 將式子 (1) 代入上式，則可得 $$y_p=y_1+\frac{y_2-y_1}{m+n}=\frac{ny_1+my_2}{m+n}$$ ■ 範例一 ：$A(6, 3)$ ，B(1, -2)，$P$ 在線段 $\overline{AB}$ 上，且 $\overline {AP}\;:\;\;\overline{PB} =2:3$，則 $P$ 點座標為何 解： $$P(x, y)=\left( \frac{nx_1+mx_2}{m...