眞趣盎然集

Derivation of I = neAv 一外加電場的導體，假設在 $t$ 時間內有 $m$ 個電子受電場的作用漂移而通過導體中的一截面，電子速度分別是 $v_1$、$v_2$、$...$、以及 $v_m$，且這些電子在 $t = 0$ 時距離該截面的距離分別是 $l_1$、$l_2$、$...$、以及 $l_m$，則平均距離 $$l=\frac{\sum_{i=1}^m l_i}{m}=\frac{\sum_{i=1}^{m}(v_it)}{m}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=t\frac{\sum_{i=1}^{m}v_i}{m}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=t\frac{mv}{m}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=vt \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 其中的 $v$ 是這些 $m$ 個電子的 平均漂移速度 (drift velocity)。

  Integral of dx/(x^2 - 1)^3/2 Evalute from 2 to 3 $\int_2^3 \frac{dx}{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}$ 解： 令 $x=\sec \theta$，且 $-\frac{\pi}{2}\le \theta \le \frac{\pi}{2}$，則 $x=\sec^{-1}\theta$， $dx=\sec \theta\; \tan \theta\; d\theta$。所以， $$I=\int_2^3 \frac{dx}{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}=\int_{\sec^{-1}2}^{\sec^{-1}3} \frac{\sec \theta\tan \theta\; d\theta}{\left (\sec^2 \theta -1\right )^\frac{3}{2}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int_{\sec^{-1}2}^{\sec^{-1}3} \frac{\sec \theta\tan\theta\; d\theta}{(\tan^2\theta)^\frac{3}{2}}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int_{\sec^{-1}2}^{\sec^{-1}3} \frac{\sec\theta\tan\theta\; d\theta}{\tan^3\theta}$$ $$\;\;\;\;\;=\int_{\sec^{-1}2}^{\sec^{-1}3} \frac{\sec\theta\; d\theta\;}{\tan^2\theta}$$ $$\;\;\;\;\;\;=\int_{\sec^{-1}2}^{\sec^{-1}3} \frac{\;\frac{1}{\cos\theta}\;d\theta\;}{\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}}$$ $$\;\;\;\;=\int_{\sec^{-1}2}^{\sec^{-1}3}\frac{\cos \theta\;d\theta}{\sin^2\theta}$$ $$\;\;\;=\int_{\sec^{-1}2}...