從 2 積到 3 ，dx/(x^2 - 1)^3/2 的積分

 

Integral of dx/(x^2 - 1)^3/2 Evalute from 2 to 3

$\int_2^3 \frac{dx}{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}$

解：

令 $x=sec\;\theta$，且 $-\frac{\pi}{2}\le \theta \le \frac{\pi}{2}$，則 $x=sec^{-1}\theta$， $dx=sec\;\theta\; tan\;\theta\; d\theta$，且 $sec\;\theta\; tan\;\theta\; d\theta$ 為正值。所以，

$$I=\int_2^3 \frac{dx}{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}=\int_{sec^{-1}2}^{sec^{-1}3} \frac{sec \;\theta\;tan\;\theta\; d\theta}{(sec^2\theta -1)^\frac{3}{2}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int_{sec^{-1}2}^{sec^{-1}3} \frac{sec \theta\;tan\theta\; d\theta}{(tan^2\theta)^\frac{3}{2}}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int_{sec^{-1}2}^{sec^{-1}3} \frac{sec\; \theta\;tan\;\theta\; d\theta}{tan^3\theta}$$

$$\;\;\;\;\;\;=\int_{sec^{-1}2}^{sec^{-1}3} \frac{\;sec\; \theta\; d\theta\;}{tan^2\theta}$$

$$\;\;\;\;\;=\int_{sec^{-1}2}^{sec^{-1}3} \frac{\;\frac{1}{cos\; \theta}\;d\theta\;}{\frac{sin^2\theta}{cos^2\theta}}$$

$$\;\;\;=\int_{sec^{-1}2}^{sec^{-1}3}\frac{cos\; \theta\;d\theta}{sin^2\theta}$$

$$\;\;=\int_{sec^{-1}2}^{sec^{-1}3}\frac{d\;sin\;\theta}{sin^2\theta}\;$$

$$\;\;=\left. -(sin\;\theta)^{-1}\right \rvert_{sec^{-1}2}^{sec^{-1}3}$$

$$\;\;=\left. (sin\;\theta)^{-1}\right \rvert_{sec^{-1}3}^{sec^{-1}2}\;\;\;$$

$$\;=\left. csc \; \theta \right \rvert_{sec^{-1}3}^{sec^{-1}2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=csc(sec^{-1}2)-csc(sec^{-1}3)$$

又如圖一所示，

圖一    一角度分別為 $sec^{-1}2$ 與  $sec^{-1}3$ 的二個直角三角形

可知

$$I=\frac{2}{\sqrt 3}-\frac{3}{2\sqrt 2}$$

$$\;\;\;\;=\frac{2\sqrt 3}{3}-\frac{3\sqrt 2}{4}$$