從 2 積到 3 ，dx/(x^2 - 1)^3/2 的積分

 

Integral of dx/(x^2 - 1)^3/2 Evalute from 2 to 3

$\int_2^3 \frac{dx}{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}$

解：

令 $x=\sec \theta$，且 $-\frac{\pi}{2}\le \theta \le \frac{\pi}{2}$，則 $x=\sec^{-1}\theta$， $dx=\sec \theta\; \tan \theta\; d\theta$。所以，

$$I=\int_2^3 \frac{dx}{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}=\int_{\sec^{-1}2}^{\sec^{-1}3} \frac{\sec \theta\tan \theta\; d\theta}{\left (\sec^2 \theta -1\right )^\frac{3}{2}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int_{\sec^{-1}2}^{\sec^{-1}3} \frac{\sec \theta\tan\theta\; d\theta}{(\tan^2\theta)^\frac{3}{2}}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int_{\sec^{-1}2}^{\sec^{-1}3} \frac{\sec\theta\tan\theta\; d\theta}{\tan^3\theta}$$

$$\;\;\;\;\;=\int_{\sec^{-1}2}^{\sec^{-1}3} \frac{\sec\theta\; d\theta\;}{\tan^2\theta}$$

$$\;\;\;\;\;\;=\int_{\sec^{-1}2}^{\sec^{-1}3} \frac{\;\frac{1}{\cos\theta}\;d\theta\;}{\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}}$$

$$\;\;\;\;=\int_{\sec^{-1}2}^{\sec^{-1}3}\frac{\cos \theta\;d\theta}{\sin^2\theta}$$

$$\;\;\;=\int_{\sec^{-1}2}^{\sec^{-1}3}\frac{d\sin\theta}{\sin^2\theta}\;$$

$$\;\;\;\;=\left. -(\sin\theta)^{-1}\right \rvert_{\sec^{-1}2}^{\sec^{-1}3}$$

$$\;\;\;\;=\left. (\sin\theta)^{-1}\right \rvert_{\sec^{-1}3}^{\sec^{-1}2}\;\;\;$$

$$\;\;\;\;=\left. \csc \theta \right \rvert_{\sec^{-1}3}^{\sec^{-1}2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\csc(\sec^{-1}2)-\csc(\sec^{-1}3)$$

又如圖一所示，

圖一    一角度分別為 $\sec^{-1}\;2$ 與  $\sec^{-1}\;3$ 的二個直角三角形

可知

$$I=\frac{2}{\sqrt 3}-\frac{3}{2\sqrt 2}$$

$$\;\;\;\;=\frac{2\sqrt 3}{3}-\frac{3\sqrt 2}{4}$$