眞趣盎然集

Current Analysis of  A Series RC Circuit Driven by A Sinusoidal Voltage Input 如圖一所示，為一正弦電動勢 RC 串聯電路。 圖ㄧ   正弦電動勢 RC 串聯電路 設迴路電流為 $i$，則電阻 $R$ 的電壓降 $v_R=Ri$，且電容 $C$ 的電壓降 $v_C=\frac{1}{C}\int i\;dt$。 因此，根據 $KVL$，可知 $$Ri+\frac{1}{C}\int i\;dt=E\;sin\;\omega t$$ 上式兩邊對 $t$ 微分，可得 $$R\frac{di}{dt}+\frac{i}{C}=E\;\omega\;cos\;\omega t$$ 上式兩邊同除 $R$，可得如下的 非齊次 的 (nonhomogeneous) 線性一階微分方程 (Linear First-Order Differential Equation)： $$\frac {di}{dt}+\frac{i}{RC}=\frac{E\;\omega}{R}cos\; \omega t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 式子 (1) 的積分因子 (Integrating Factor) 為 $$F(t)=e^{h(t)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其中\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;h(t)=\int \frac{1}{RC} dt$$ 將式子 (1) 兩邊同乘 $F(t)$，可得 $$e^{\frac{t}{RC}}\frac{di}{dt}+\frac{e^{\frac{t}{RC}}}{RC} i=e^{\frac{t}{RC}}\frac {E\;\omega}{R}cos \;\omega t $$ $$\frac{d(e^{\frac{t}{RC}}i)}{dt}=e^{\frac{t}{RC}}\frac {E\;\omega}{R}cos\;\omega t $$ 上式兩邊積分， $$e^{\frac{t}{RC}}i=\frac{E\;\omega}{R}\int e^{\frac{t}{RC}}cos\;\omega t\;...

Current Analysis of A Series RL Circuit  Driven by A Sinusoidal Voltage Input 如圖一所示，為一正弦電動勢 RL 串聯電路。 圖一    正弦輸入的 RL 串聯電路 設迴路電流為 $i$，則電阻 $R$ 的電壓降 $v_R=Ri$，且電感 $L$ 的電壓降 $v_L=L \frac{di}{dt}$。 因此，根據 $KVL$，可知 $$L\frac{di}{dt}+Ri=E\;sin\;\omega t$$ 上式兩邊同除 $L$，可得如下的 非齊次 的 (nonhomogeneous)  線性一階微分方程 (Linear First-Order Differential Equation)： $$\frac {di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}sin\; \omega t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 令 $\frac {R}{L}=\alpha $，則式子 (1) 的積分因子 (Integrating Factor) 為 $$F(t)=e^{h(t)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其中\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;h(t)=\int \alpha dt$$ 將式子 (1) 兩邊同乘 $F(t)$，可得 $$e^{\alpha t}\frac{di}{dt}+e^{\alpha t}\alpha \; i=e^{\alpha t}\frac {E}{L}sin \;\omega t $$ $$\frac{d(e^{\alpha t}i)}{dt}=e^{\alpha t}\frac {E}{L}sin\;\omega t $$ 即 $$e^{\alpha t}i=\frac{E}{L}\int e^{\alpha t}sin\;\omega t\;dt$$ 整理得 $$i=e^{-\alpha t}\frac{E}{L}\int e^{\alpha t}sin\;\omega t\;dt\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 利用 分部積分 (...

  Proofs of Triple and  Quadruple  Vector Products 向量三重積 (Vector Triple Product) 的等式如下： $1.\;\; \mathbf A \times (\mathbf B \times \mathbf C)=(\mathbf A \cdot \mathbf C)\mathbf B-(\mathbf A \cdot   \mathbf B)\mathbf C$ 證明： 設  $$\mathbf A=a_1 \;\mathbf i + a_2 \;\mathbf j + a_3\; \mathbf k$$ $$\mathbf B=b_1\; \mathbf i + b_2 \;\mathbf j + b_3 \;\mathbf k$$ $$\mathbf C=c_1 \;\mathbf i + c_2 \;\mathbf j + c_3 \;\mathbf k$$ 則應用外積定義，可知 $$\mathbf B \times \mathbf C = \left |\begin{matrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf  k \\b_1& b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix}\right  | \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left | \begin{matrix}b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \end {matrix} \right | \;\mathbf i - \left | \begin{matrix}b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \end {matrix} \right | \;\mathbf j + \left | \begin{matrix}b_1 ...

Differentials of the Inverse Trigonometric Functions 如下所示為反三角函數的微分公式，及其延伸的積分公式。下面我們將分別說明其推導過程以及相關例題的解法： $d(sin^{-1} x)=\frac{dx}{\sqrt {1-x^2}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; -1<x<1$ $\int \frac{dx}{\sqrt {1-x^2}}=sin^{-1}x+C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2 < 1$ 推導： 因為  $$sin(sin^{-1}x)=x$$ 上式兩邊微分，因為 $d(sin\;u)=cos\;u\;du$ ，可得 $$cos(sin^{-1}x)\;d(sin^{-1}x)=dx$$ 即 $$d(sin^{-1}x)=\frac{dx}{cos(sin^{-1}x)}=\frac{dx}{\sqrt{1-sin(sin^{-1}x)}}=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-1<x<1$$ 兩邊積分可得 $$\int \frac{dx}{\sqrt {1-x^2}}=sin^{-1}x+C \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2<1$$ 範例ㄧ： $y=sin^{-1}(\frac{x}{2})$，求 $dy/dx$ 解： 直接代公式： $$dy=\frac{d(\frac {x}{2})}{\sqrt {1-(\frac{x}{2})^2}}=\frac{dx}{2 \sqrt {1-(\frac{x}{2})^2}}=\frac{dx}{\sqrt {4-x^2}}$$ 因此 $$\frac{dy}{dx}=\frac {1}{\sqrt {4-x^2}}$$ 但如果不直接代公式求解，已知 $$y=sin^{-1}(\frac{x}{2})$$ 則 $$sin\;y=\frac{x}{2}$$ 上式兩邊取導數 (Derivative)，可得 $$cos\;y\left (\frac{dy}{dx}\right )=\frac{1}{2}$$ 即 $$\frac{dy}{dx}=\fr...

Synchronous 3-bit Up/Down Counter Design 二進位的同步計數器的設計步驟為： 一、列出計數順序的 狀態圖 (State Diagram) 二、決定正反器的種類與數目 三、列出同步計數器的 狀態激勵表 (State Excitation Table) 四、以 卡諾圖 (K-map) 化簡狀態激勵表後，找出個正反器輸入的邏輯表示式 五、畫出邏輯電路。 接下來，我們將依照上面的步驟，說明如何設計可上下數的三位元同步計數器。 狀態圖 狀態圖用是來說明同步計數器的計數輸出的變化，如圖一所示為 可控制上下數的三位元同步計數器的狀態圖，其中當控制信號 $c=0$ 時， 三位元同步計數器執行上數，其輸出端 $Q_2Q_1Q_0$ 的計數順序為 000 $\rightarrow$ 001 $\rightarrow$ 010 $\rightarrow$ 011 $\rightarrow$ 100 $\rightarrow$ 101 $\rightarrow$ 110 $\rightarrow$ 111 $\rightarrow$ 000；而  $c=1$ 時，則執行下數，其輸出端的計數順序為 000 $\rightarrow$ 111 $\rightarrow$ 110 $\rightarrow$ 101 $\rightarrow$ 100 $\rightarrow$ 011 $\rightarrow$ 010 $\rightarrow$ 001 $\rightarrow$ 000。 圖一    可控制上下數的三位元同步計數器狀態圖 正反器的種類與數目 正反器的種類，在此選擇的是 $JK$ 正反器。$n$ 個正反器，可以設計出 $2^n$ 模上數或下數的同步計數器。而有 8 個計數狀態 ( 8 模 ) 的三位元同步計數器，因為 $2^3=8$，需要的正反器數目為 3 個，其計數範圍則為 $0$ 至 $2^3-1$。 狀態激勵表 要列出可上下數三位元同步計數器的狀態激勵表，則必須先寫出 $JK$ 正反器的 激勵表 (Excitation Table) ，再與狀態圖綜合起來就可以得到，而其中的激勵表則是推導自正反器的真值表。首先，我們來看 $JK$ 正反器的真值表，如圖二所示： 圖二  ...

餘弦定理 (Law of Cosines) 敘述如下： 三角形 $ABC$ 中，若 $\angle A$ 的對邊長度為 $a$，$\angle B$ 的對邊長度為 $b$，$\angle C$ 的對邊長度為 $c$，則 $a^2=b^2+c^2-2bc\;cos \;\angle A$ $b^2=a^2+c^2-2ac\;cos\;\angle B$ $c^2=a^2+b^2-2ab\;cos\;\angle C$ 推導： 如圖一所示的三角形 $ABC$， 圖一   (a) $\angle C$ 為銳角時的三角形 $ABC$，  (b) $\angle C$ 為鈍角時的三角形 $ABC$ (1) 當 $\angle C$ 為銳角時： 如圖二所示，自頂點 $A$ 劃一條垂直於 $\overline {BC}$ 的線，垂足為 $D$，則  $\overline {CD}=b\;cos\;\angle C$， $\overline {AD}=b\;sin\;\angle C$，且可知 $\overline {BD}=a-b\;cos\;\angle C$。 圖二    $\angle C$ 為銳角的三角形 $ABC$ 將直角三角形 $ABD$，應用 畢氏定理 (Pythagorean Theorem) 可得 $$c^2=(a-b\;cos\;\angle C)^2+(b\;sin\;\angle C)^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;=a^2-2ab\;cos\;\angle C+b^2\;cos^2\; \angle C+b^2\;sin^2\;\angle C$$ $$=a^2-2ab\;cos\;\angle C+b^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ (2) 當 $\angle C$ 為鈍角時： 如圖三所示，自頂點 $A$ 劃一條垂直於 $\overline {BC}$ 的延伸線，垂足為 $D$，則 $\overline {CD}=b\;cos(\pi-\angle C)=-b\;cos\;\angle C$，$\overline {AD}= b\;sin(\pi...

二維的 科西不等式 (Cauchy-Schwarz Inequality) 如下所述： 設 $a$、$b$ 與 $x$、$y$ 均為實數，則 $(a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2$ 且當 $ay=bx$ 時，等號成立 推導一： $$(a^2+b^2)(x^2+y^2) =a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又已知 $$a^2y^2-2abxy+b^2x^2=(ay-bx)^2 \ge 0$$ 亦即 $$a^2y^2+b^2x^2 \ge 2abxy\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 且由上面的不等式可知，等號成立發生在 $(ay-bx)^2=0$，即 $ay=bx$ 時。 將式子 (2) 代入式子 (1)，即可得 $$(a^2+b^2)(x^2+y^2)  \ge a^2x^2+2abxy+b^2y^2=(ax+by)^2$$ 即 $$(a^2+b^2)(x^2+y^2)  \ge (ax+by)^2$$ 且等號成立發生在 $ay=bx$ 時。 推導二： 令 $\overrightarrow u = (a, b)$，$\overrightarrow v=(x, y)$，且 $\overrightarrow u\;$ 與 $\overrightarrow v\;$ 的夾角為 $\theta$，則 $$\overrightarrow u\; \cdot \; \overrightarrow v = ax+by$$ 且 $$|\;\overrightarrow u\;| =\sqrt{a^2+b^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\;\overrightarrow v\;| =\sqrt{x^2+y^2}$$ 代入內積的定義 $$\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v =|\;\overrightarrow u\;||\;\overrightarrow v\;|\;cos\theta$$ 可得 $$ax+by=\sqrt{a^2+b^2}\;\sqrt{x^2+y^2}\;cos\theta$$ 上式兩邊...

  求解  $\int x^3 cos2x\;dx$  解： 令 $$I = \int x^3 cos2x\;dx$$  因為 $d(sin2x)=2cos2x\;dx$，即 $cos2x\;dx=\frac{1}{2}d(sin2x)$，代入 $I$ 可得 $$I= \frac{1}{2}\int x^3d(sin2x)$$ 利用不定積分的 分部積分 (Integration by Parts) 公式： $$\int udv=uv-\int vdu$$ 令 $u=x^3$、$v=sin2x$，則 $$I=\frac{1}{2}\left [x^3sin2x-\int sin2x\;d(x^3)\right ]\;\;\;\;$$ $$=\frac{1}{2}\left [x^3sin2x-3\int x^2sin2x\;dx \right ]$$ 因為 $d(cos2x) = -2sin2x\;dx$，即 $sin2x\;dx = - \frac{1}{2}d(cos2x)$，代入 $I$ 可得 $$I=\frac{1}{2}\left [x^3sin2x+\frac{3}{2}\int x^2 \;d(cos2x) \right ]$$ 再用一次分部積分公式，令 $u=x^2$、$v=cos2x$，則 $$I=\frac{1}{2}\left [x^3sin2x+\frac{3}{2}x^2cos2x-\frac{3}{2}\int cos2x\;d(x^2) \right ]$$ $$\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\left [x^3sin2x+\frac{3}{2}x^2cos2x-\frac{3}{2}\int cos2x\;(2x\;dx) \right ]$$ 又 $d(sin2x) = 2cos2x\;dx$，所以上式可改寫成 $$I=\frac{1}{2}\left [ x^3 sin2x+\frac{3}{2}x^2 cos2x-\frac{3}{2}\int x\;d(sin2x) \right ]$$ 接著繼續再用一次分部積分公式，令 $u=x$、$v=sin2x$，則 $$I=\frac{1}{2}\left [ x^3 sin2x+\frac{3}{2}x^2 cos2x-\fra...

  先前介紹的「 基本的交通號誌控制電路 」一文，並沒有紅燈倒數計時的功能，本文延續該電路探討如何將 紅燈倒數計時的功能 加入 。其完整的電路如圖一所示： 圖一   有紅燈倒數計時的基本的交通號誌控制電路 功能 一開始縱向的紅色 LED 亮，伴隨著從 4 秒開始的倒數計時顯示，且橫向的綠色 LED 同時跟著亮。當縱向的紅色 LED 倒數至 1 秒時，橫向的綠色 LED 熄滅，且橫向的黃色 LED 亮；當縱向的紅色 LED 倒數至 0 秒時 (不顯示)，縱向的紅色 LED 熄滅，轉而縱向的綠色 LED 亮，且橫向的紅色 LED 亮，伴隨著從 4 秒開始的倒數計時顯示。當橫向的紅色 LED 倒數至 1 秒時，縱向的綠色 LED 熄滅，縱向的的黃色 LED 亮；當橫向的紅色 LED 倒數至 0 秒時 (不顯示)，橫向的紅色 LED 熄滅，縱向的綠色 LED 亮，如此周而復始。其燈號動作時序圖如圖二所示。 圖二   燈號動作時序圖 電路設計 沒有紅燈倒數計時功能的 基本的交通號誌控制電路 ，電路如圖三所示，該部分的原理參見該文說明，這裡不再贅述。接下來，我們將只針對要另外加入的紅燈倒數計時部分的電路來作說明。 圖三   無紅燈倒數計時的基本的交通號誌控制電路 圖四    紅燈倒數計時顯示電路的 真值表 基本的交通號誌控制電路中的 3 位元模數 8 的同步上數計數電路的輸出 $(Q_C,\;Q_B,\;Q_A)$ ，是我們要加入的紅燈倒數計時顯示部分的輸入；而圖一中負責將 BCD 碼轉七段顯示碼的兩顆 IC 4511 各自的 BCD 碼輸入腳 $(Q_C^{'},\;Q_B^{'},\;Q_A^{'})$ 與 $(Q_C^{"},\;Q_B^{"},\;Q_A^{"})$ ，則分別是縱向與橫向的紅燈倒數計時輸出連接接腳，其真值表如圖四所示。 根據圖四的真值表，可畫出圖五至圖十的 卡諾圖 (Karnaugh Map)： 圖五    $Q_C\;'$ 的卡諾圖 圖六     $Q_B\;'$ 的卡諾圖 圖七    $Q_A\;'$ 的卡諾圖 圖八    $Q_C\;''$ 的卡諾圖 圖九   ...