施密特觸發反相閘組成的無穩態多諧振盪器 | 輸出振盪頻率推導
Schmitt Trigger Inverter Astable Multivibrator | Derivation of Output Oscillation Frequency
如圖一所示，為一施密特觸發反相閘 (Schmitt Triger Inverter Gate) 與一個電阻加上一個電容所組成的無穩態多諧振盪器。該電路一接上直流電源後，就能持續振盪並輸出矩形波。以下我們將說明其動作原理，並推導其輸出振盪頻率。
圖一 施密特觸發反相閘組成的無穩態多諧振盪器
動作原理
- 當施密特觸發反相閘的輸入端電壓小於其下臨界電壓 (Lower Threshold Voltage) $V_L$ 時，該閘會輸出高電位 $V_{OH}$；反之，當其輸入端電壓大於其上臨界電壓 (Upper Threshold Voltage) $V_U$ 時，則會輸出低電位 $V_{OL}$。而當輸入電壓介於 $V_L$ 與 $V_U$ 之間時，則輸出狀態維持不變。常見的施密特觸發反相閘 IC 有 74LS14 以及 CD40106。
- 當電源打開瞬間，電容 $C$ 可視為短路，因電容的負端接地，所以該瞬間施密特觸發反相閘的輸入電壓約為 $0\;V$ ，明顯小於 $V_L$，故閘輸出 $V_{OH}$。而很快地當電源穩定，電容不再有短路現象後，電容 $C$ 將開始被充電，如圖二所示。接著當電容電壓 $v_C$ 因充電增加至大於閘的 $V_U$ 瞬間，閘的輸出會由高電位 $V_{OH}$ 轉態成低電位 $V_{OL}$。
圖二 電容充電
- 當上述的 $v_C \gt V_U$，且 $v_o=V_{OL}$ 的狀態發生時 ( 注意 $V_U \gt V_{OL}$)，電容反過來開始放電，如圖三所示。當電容電壓因放電下降至小於 $V_L$ 瞬間，閘的輸出會由低態 $V_{OL}$ 轉態成高態 $V_{OH}$。接著，電容又開始被充電，如此周而復始，因而密特觸發反相閘持續輸出矩形波。此無穩態多諧振盪器的波形圖，如圖四所示。
圖三 電容放電
圖四 $v_c$ 與 $v_o$ 波形圖
輸出頻率推導
電容充電時間 $t_1$
如圖四所示，$v_c$ 波形一週內，電容充電的持續時間為 $t_1$。又如圖二所示，假設電容充電電流為 $i$，則應用 $KVL$，可知
$$v_o=iR+v_C=iR+\frac{1}{C}\int i\;dt$$
將上式兩邊對 $t$ 微分，可得
$$0=R\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}i$$
$$\frac{di}{i}=-\frac{dt}{RC}$$
上式兩邊積分，可得
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ln \; |i|=-\frac{t}{RC}+K^{'}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;K^{'}為一常數$$
即
$$i=Ke^{-\frac{t}{RC}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$
其中 $K$ 為一常數。
又從圖四的波形圖可知電容充電時， $i(t_a)=\frac{V_{OH}-V_L}{R}$，代入式子 (1)，可得
$$\frac{V_{OH}-V_L}{R}=Ke^{-\frac{t_a}{RC}}$$
亦即
$$K=\left (\frac{V_{OH}-V_L}{R}\right )e^{\frac{t_a}{RC}}$$
所以，式子 (1) 可改寫成
$$i=\left(\frac{V_{OH}-V_L}{R}\right)e^{\frac{t_a}{RC}}e^{-\frac{t}{RC}}$$
$$=\left(\frac{V_{OH}-V_L}{R}\right)e^{\frac{-(t-t_a)}{RC}}\;\;$$
將上式代入如下的電容電壓等式，可得
$$v_c=V_{OH}-iR\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;=V_{OH}- \left(\frac{V_{OH}-V_L}{R}\right)e^{-\frac{(t-t_a)}{RC}}\;R$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=V_{OH}- (V_{OH}-V_L)e^{-\frac{(t-t_a)}{RC}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$
已知 $v_c(t_b)=V_U$，代入式子 (2) 可得
$$V_U=V_{OH}- (V_{OH}-V_L)e^{-\frac{(t_b-t_a)}{RC}}$$
又已知 $t_1=t_b-t_a$，因此上式可改寫成
$$V_U=V_{OH}- (V_{OH}-V_L)e^{-\frac{t_1}{RC}}$$
$$e^{-\frac{t_1}{RC}}=\left (\frac{V_{OH}-V_U}{V_{OH}-V_L}\right )$$
最後可得
$$t_1=RC\;\ln\;\left (\frac{V_{OH}-V_L}{V_{OH}-V_U}\right )\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$
電容放電時間 $t_2$
如圖四所示，$v_c$ 波形一週內，電容放電的持續時間為 $t_2$。又如圖二所示，假設電容放電電流為 $i$，則應用 $KVL$，可知
$$v_c=iR+V_{OL}$$
$$-\frac{1}{C}\int i\;dt=iR+v_{OL}$$
上式兩邊對 $t$ 微分，可得
$$-\frac{i}{C}=R \frac{di}{dt}$$
$$\frac{di}{i}=-\frac{dt}{RC}$$
上式兩邊積分，可得
$$\ln \; |i|=-\frac{t}{RC}+P^{'}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;P^{'}\; 為一常數$$
即
$$i=Pe^{-\frac{t}{RC}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$
其中 $P$ 為一常數。
又從圖四的波形圖可知電容放電時， $i(t_b)=\frac{V_U-V_{OL}}{R}$，代入式子 (4)，可得
$$P=\frac{V_U-V_{OL}}{R}\;e^{\frac{t_b}{RC}}$$
因此式子 (4) 可改寫成
$$i=\frac{V_U-V_{OL}}{R}\;e^{\frac{-(t-t_b)}{RC}}$$
將上式代入如下的電容電壓等式，可得
$$v_C=iR+V_{OL}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=\frac{V_U-V_{OL}}{R}\;e^{\frac{-(t-t_b)}{RC}}\;R+V_{OL}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=(V_U-V_{OL})e^{\frac{-(t-t_b)}{RC}}+V_{OL}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$
已知 $v_C(t_c)=V_L$，代入式子 (5) 可得
$$V_L=(V_U-V_{OL})e^{\frac{-(t_c-t_b)}{RC}}+V_{OL}$$
又已知 $t_2=t_c-t_b$，所以上式可改寫成
$$V_L=(V_U-V_{OL})e^{\frac{-t_2}{RC}}+V_{OL}$$
整理得
$$t_2=RC\;\ln\;\left (\frac{V_U-V_{OL}}{V_L-V_{OL}}\right )\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)$$
頻率 $f$
由圖四可知週期
$$T=t_1+t_2=RC\;\ln\;\left (\frac{V_{OH}-V_L}{V_{OH}-V_U}\right )+RC\;\ln\;\left (\frac{V_U-V_{OL}}{V_L-V_{OL}}\right )\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=RC\;\ln\;\left [\left (\frac{V_{OH}-V_L}{V_{OH}-V_U}\right )\left (\frac{V_U-V_{OL}}{V_L-V_{OL}}\right ) \right ]$$
因此，頻率
$$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{RC\;\ln\;\left [\left (\frac{V_{OH}-V_L}{V_{OH}-V_U}\right )\left (\frac{V_U-V_{OL}}{V_L-V_{OL}}\right ) \right ]}$$
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