利用微分求解數的次方根近似值 | 標準線性近似法

 

Approximating Roots of Numbers Using Differentials | Standard Linear Approximation

若一非線性函數在某特定點的值易求得，則該特定點附近其它不易求得值的點之值，可利用該特定點的線性化 (Linearization) 函數找到其近似值。而數的次方根近似值，常可利用此方法輕易找到。

若 $y=f(x)$ 在 $x=a$ 處為可微，則

$f(x) \approx f(a)+f^{'}(a)(x-a)$

其中 

$P(x)=f(a)+f^{'}(a)(x-a)$

稱為 $f(x)$ 在 $a$ 點的線性化函數

如圖一所示，$f(x)$ 在 $a$ 點的線性化函數為

$$P(x)=f(a)+f^{'}(a)(x-a)$$

如果 $x$ 沒有離 $a$ 太遠，則可知

$$f(x) \approx P(x)=f(a)+f^{'}(a)(x-a)$$

誤差將不會太大。

圖一  f(x) 與 f(x) 在 a 點的線性化函數關係圖

在應用上，數的次方根近似值，常可利用此方法找到。其方法如下：

首先如圖二所示的 $f(x)=\sqrt{1+x}$ 的函數圖可知：如果我們現在想找出 $\sqrt {1.3}$ 的近似值，等同於要找出 $f(0.3)=\sqrt {1+0.3}$ 的近似值。而且最靠近點 $0.3$ 且容易找到值的點應是 $0$，因為明顯可知

$$f(0) =1$$

又

$$f^{'}(x)=\frac{1}{2\sqrt {1+x}}$$

即

$$f^{'}(0)=\frac{1}{2}$$

因此，$f(x)$ 在 $x=0$ 點的線性化函數為 

$$P(x)=f(0)+f^{'}(0)(x-0)=1+\frac{x}{2}$$

所以

$$\sqrt {1.3}=f(0.3) \approx P(0.3)=1+\frac{0.3}{2}=1.15$$

而 $\sqrt {1.3}$ 用計算機算出來的值為 $1.14$。

圖二  $y=\sqrt{1+x}$  與其在 $x=0$ 的線性函數圖

範例一：利用微分 (Differentials)，找出 $\sqrt[3]{1001}$ 的近似值

解：

令

$$f(x)=\sqrt [3]{1+x}$$

則要找出 $\sqrt [3]{1001}$ 的近似值等同於找出 $f(1000)$ 的近似值。而容易求值且最靠近 $x=1000$ 的是 $x=999$。已知

$$f(999)=10$$

$$f^{'}(x)=\frac{1}{3}(1+x)^{-\frac{2}{3}}$$

$$f^{'}(999)=\frac{1}{300}$$

所以

$$\sqrt [3]{1001}=f(1000) \approx f(999)+f^{'}(999)(1000-999)=10+\frac{1}{300}\approx 10.003$$

而 $\sqrt [3]{1001}$ 用計算機算出來的值為 $10.0033$。

範例二：利用微分，求解 $\sqrt{725}$ 的近似值

解：

令 

$$f(x)=\sqrt {1+x}$$

則

$$f^{'}(x)=\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}$$

若要找出 $\sqrt {725}$ 的近似值等同於找出 $f(724)$ 的近似值。而容易求值且最靠近 $x=724$ 的是 $x=728$  ( 因為 $\sqrt {1+728}=\sqrt {729}=27$ )。已知

$$f(728)=27$$

$$f^{'}(728)=\frac{1}{2}(1+728)^{-\frac{1}{2}}=\frac {1}{54}$$

因此

$$f(x)= \sqrt {1+x}\approx f(728)+f^{'}(728)(x-728)=27+\frac{1}{54}(x-728)$$

即

$$\sqrt {725}=\sqrt {1+724}=f(724) \approx 27+\frac{-4}{54}\approx 26.926$$

而 $\sqrt {725}$ 用計算機算出來的值為 $26.9258$。

範例三：利用微分，求解 $\frac {1}{\sqrt {26}}$ 的近似值

解：

令

$$f(x)=\frac {1}{\sqrt {1+x}}$$

則

$$f(25)=\frac {1}{\sqrt {26}}$$

又由 $f(24)=\frac{1}{5}$，可知容易找出值且靠近 $x=25$  的點是 $x=24$。此外，

$$f^{'}(x)=-\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{3}{2}}$$

可知

$$f^{'}(24)=-\frac{1}{250}$$

故

$$\frac {1}{\sqrt {26}}\approx \frac{1}{5}-\frac{1}{250}(25-24)=0.196$$

而 $\frac {1}{\sqrt {26}}$ 用計算機算出來的值為 $0.19612$。

■

接著我們來看一個在工程或物理上常見的一樣由線性函數所得到的近似式：

$(1+x)^k \approx 1+k\;x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k\; 為任意數$

推導：

$$f(x)=(1+x)^k$$

$f(x)$ 在 $x=0$ 的線性函數

$$P(x)=f(0)+f^{'}(0)(x-0)$$

已知

$$f(0)=1$$

$$f^{'}(x)=k(1+x)^{k-1}$$

即

$$f^{'}(0)=k$$

故

$$f(x)=(1+x)^k \approx P(x)=1+k\;x$$

其中 $x$ 的值愈接近 $0$，近似效果愈好。