從 0 積到 1，sqrt (x^2+1) 的積分 | 除法定則推導

Integral of Sqrt(x^2+1) from 0 to 1

求 $\int_0^1 \sqrt {x^2+1}\;dx$

解：

$$I=\int_0^1 \sqrt {x^2+1}\;dx$$

利用變數變換 (Change of Variable)，令

$$x=\tan \theta$$

則

$$\theta = \tan^{-1}x$$

且

$$dx=\sec^2 \theta\;d\theta$$

代入 $I$，可得

$$I=\int_{\tan^{-1}0}^{\tan^{-1}1}\sqrt{\tan^2 \theta +1}\sec^2 \theta\;d\theta $$

$$\;\;= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec^3 \theta\;d\theta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

已知 $d(\tan \theta)=\sec^2\theta\;d\theta$，所以式子 (1) 可改寫成

$$I =\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec \theta\;d(\tan\theta)$$

接著將上式應用分部積分 (Integration by Parts) 公式： $\int u\;dv=uv-\int v\;du$，可得

$$I=\left. \sec \theta \tan \theta \right \rvert_0^{\frac{\pi}{4}}-\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan \theta\;d(\sec\theta)\;\;\; $$

又已知 $d(\sec \theta)=\sec \theta\tan\theta\; d\theta$，所以

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I=\left [ \sec \left (\frac{\pi}{4}\right )\tan \left (\frac{\pi}{4}\right )-\sec (0)\tan (0) \right ]-\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan \theta \cdot \tan \theta \sec \theta \;d\theta$$

$$\;\;\;\;\;=(\sqrt 2 \cdot 1-1\cdot 0) - \int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^2\theta \sec\theta\; d\theta$$

$$=\sqrt 2  - \int_0^{\frac{\pi}{4}}(\sec^2\theta - 1) \sec\theta \;d\theta\;\;\;\;\;$$

$$\;\;=\sqrt 2 - \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec^3\theta\; d\theta + \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec \theta \;d\theta$$

又由式子 (1) 知 $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec^3\theta \;d\theta$，所以上式可改寫成

$$2I=\sqrt 2 + \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec \theta \;d\theta$$

即

$$I=\frac{\sqrt 2}{2}+\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec \theta\; d\theta$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{\sqrt 2}{2}+\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec \theta \left (\frac{\sec \theta+\tan \theta}{\sec \theta+\tan \theta} \right )d \theta$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{\sqrt 2}{2} + \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{d(\sec \theta+\tan\theta)}{\sec\theta+\tan\theta}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{\sqrt 2}{2} + \frac{1}{2}  \left. \left (\ln |\sec\theta+\tan \theta |  \right ) \right \rvert_0^{\frac{\pi}{4}}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{\sqrt 2}{2}+ \frac{1}{2} \left [\ln (\sqrt 2 + 1)-\ln (1+0) \right ]$$

$$=\frac{\sqrt 2}{2}+ \frac{1}{2} \ln (\sqrt 2 + 1)$$

■

上面的計算有應用如下的除法定則 (Quotient Rule)：

$\frac{d}{dx}\left (\frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{g(x)\frac{df(x)}{dx}-f(x)\frac{dg(x)}{dx}}{[g(x)]^2}$

推導：

$$\frac{d}{dx}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{g(x)f(x+h)-f(x)g(x+h)}{g(x+h)g(x)}}{h}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\lim_{h \to 0}\frac{g(x)[f(x+h)-f(x)]-f(x)[g(x+h)-g(x)]}{g(x+h)g(x)h}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\lim_{h \to 0}\left [ \frac{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}{g(x+h)}-\frac{f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}{g(x+h)g(x)} \right ]$$

$$=\frac{\frac{df(x)}{dx}}{g(x)}-\frac{f(x) \frac{dg(x)}{dx}}{[g(x)]^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=\frac{g(x)\frac{df(x)}{dx}-f(x)\frac{dg(x)}{dx}}{[g(x)]^2}\;\;\;\;\;\;\;\;$$

■

因此，原題求解過程中出現的 $d(tan\;\theta) = sec^2\theta\;d\theta$ 可應用上面的公式求得，即

$$\frac{d}{d\theta}(tan\;\theta)=\frac{d}{d\theta}\left (\frac{sin\;\theta}{cos\;\theta}\right )\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{cos\;\theta \frac{d(sin\;\theta)}{d\theta}-sin\;\theta \frac{d(cos\;\theta)}{d\theta}}{cos^2\theta}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{cos\;\theta (cos\;\theta)-sin\;\theta(-sin\;\theta)}{cos^2\theta}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{cos^2\theta+sin^2\theta}{cos^2\theta}$$

$$=\frac{1}{cos^2\theta}\;\;$$

$$=sec^2\theta\;\;\;\;$$

所以，

$$d(tan\;\theta) = sec^2\theta\;d\theta$$

又原題求解過程中出現的 $d(\sec \theta) = \sec \theta\tan \theta \;d\theta$，一樣可應用上面的公式求得，即

$$\frac{d}{d\theta}(\sec\theta) = \frac{d}{d\theta}\left (\frac{1}{\cos\theta}\right)\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{-(-\sin\theta)}{\cos^2\theta}$$

$$\;\;\;\;=\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{\cos\theta}\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\sec \theta\tan \theta$$

所以，

$$d(\sec\theta) = \sec \theta \tan \theta \;d\theta$$

且綜合可得

$$d(\sec \theta+\tan \theta)=(\sec \theta\tan \theta+\sec^2\theta)d\theta=\sec\theta(\tan\theta+\sec\theta)d\theta$$