從 0 積到 1，sqrt (x^2+1) 的積分

Integral of Sqrt(x^2+1) from 0 to 1

求 $\int_0^1 \sqrt {x^2+1}\;dx$

解：

$$I=\int_0^1 \sqrt {x^2+1}\;dx$$

利用變數變換 (Change of Variable)，令

$$x=tan\theta$$

則

$$\theta = tan^{-1}x$$

且

$$dx=sec^2\theta\;d\theta$$

代入 $I$，可得

$$I=\int_{tan^{-1}0}^{tan^{-1}1}\sqrt{tan^2\theta +1}\;sec^2\theta\;d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}}sec^3\theta\;d\theta$$

$$=\int_0^{\frac{\pi}{4}}sec\theta\;d(tan\theta)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

應用分部積分 (Integration by Parts)，可得

$$I=\left. sec\theta \;tan\theta \right \rvert_0^{\frac{\pi}{4}}-\int_0^{\frac{\pi}{4}}tan\theta\;d(sec\theta)\;\;\; $$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left [ sec(\frac{\pi}{4})tan(\frac{\pi}{4})-sec(0)tan(0) \right ]-\int_0^{\frac{\pi}{4}}tan\theta \cdot tan\theta \;sec\theta \;d\theta$$

$$\;\;\;\;\;=(\sqrt 2 \cdot 1-1\cdot 0) - \int_0^{\frac{\pi}{4}}tan^2\theta \;sec\theta\; d\theta$$

$$=\sqrt 2  - \int_0^{\frac{\pi}{4}}(sec^2\theta - 1) sec\theta \;d\theta\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;=\sqrt 2 - \int_0^{\frac{\pi}{4}}sec^3\theta\; d\theta + \int_0^{\frac{\pi}{4}}sec\theta \;d\theta$$

又由上面可知 $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}sec^3\theta \;d\theta$，所以上式可改寫成

$$2I=\sqrt 2 + \int_0^{\frac{\pi}{4}}sec\theta \;d\theta$$

即

$$I=\frac{\sqrt 2}{2}+\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}sec\theta\; d\theta$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{\sqrt 2}{2}+\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}sec\theta \left (\frac{sec\theta+tan\theta}{sec\theta+tan\theta} \right )d \theta$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{\sqrt 2}{2} + \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{d(sec\theta+tan\theta)}{sec\theta+tan\theta}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{\sqrt 2}{2} + \frac{1}{2}  \left. \left (\ln |sec\theta+tan\theta |  \right ) \right \rvert_0^{\frac{\pi}{4}}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{\sqrt 2}{2}+ \frac{1}{2} \left [\ln (\sqrt 2 + 1)-\ln (1+0) \right ]$$

$$=\frac{\sqrt 2}{2}+ \frac{1}{2} \ln (\sqrt 2 + 1)$$

■

上面的計算有應用如下的除法定則 (Quotient Rule)：

$\frac{d}{dx}\left (\frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{g(x)\frac{df(x)}{dx}-f(x)\frac{dg(x)}{dx}}{[g(x)]^2}$

推導：

$$\frac{d}{dx}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{g(x)f(x+h)-f(x)g(x+h)}{g(x+h)g(x)}}{h}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\lim_{h \to 0}\frac{g(x)[f(x+h)-f(x)]-f(x)[g(x+h)-g(x)]}{g(x+h)g(x)h}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\lim_{h \to 0}\left [ \frac{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}{g(x+h)}-\frac{f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}{g(x+h)g(x)} \right ]$$

$$=\frac{\frac{df(x)}{dx}}{g(x)}-\frac{f(x) \frac{dg(x)}{dx}}{[g(x)]^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=\frac{g(x)\frac{df(x)}{dx}-f(x)\frac{dg(x)}{dx}}{[g(x)]^2}\;\;\;\;\;\;\;\;$$

■

因此，原題求解過程中出現的 $d(tan\theta) = sec^2\theta\;d\theta$ 可應用上面的公式求得，即

$$\frac{d}{d\theta}tan\theta=\frac{d}{d\theta}\left (\frac{sin\theta}{cos\theta}\right )\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{cos\theta \frac{d(sin\theta)}{d\theta}-sin\theta \frac{d(cos\theta)}{d\theta}}{cos^2\theta}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{cos\theta (cos\theta)-sin\theta(-sin\theta)}{cos^2\theta}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{cos^2\theta+sin^2\theta}{cos^2\theta}$$

$$\;\;\;=\frac{1}{cos^2\theta}$$

$$\;\;=sec^2\theta$$

所以，

$$d(tan\theta) = sec^2\theta\;d\theta$$

又原題求解過程中出現的 $d(sec\theta) = sec\theta tan\theta \;d\theta$，一樣可應用上面的公式求得，即

$$\frac{d}{d\theta}(sec\theta) = \frac{d}{d\theta}\left (\frac{1}{cos\theta}\right)\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{-(-sin\theta)}{cos^2\theta}$$

$$\;\;\;\;=\frac{sin\theta}{cos^2\theta}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{cos\theta}\frac{sin\theta}{cos\theta}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;=sec\theta\;tan\theta$$

所以，

$$d(sec\theta) = sec\theta \;tan\theta \;d\theta$$

且綜合可得

$$d(sec\theta+tan\theta)=(sec\theta\;tan\theta+sec^2\theta)d\theta=sec\theta(tan\theta+sec\theta)d\theta$$