從 0 積到 3，x/(36-x^2)^(1/2) 的積分

Integral of x/(36-x^2)^(1/2) from 0 to 3

求 $\int_0^3 \frac{x}{\sqrt{36-x^2}}dx$

解：

$$I=\int_0^3 \frac{x}{\sqrt{36-x^2}}\;dx$$

$$\;\;\;\;\;\;\;=\int_0^3 \frac{x}{\sqrt{36(1- \frac{x^2}{36})}}\;dx$$

$$\;\;\;\;\;\;=\int_0^3 \frac{x}{6 \sqrt{1-(\frac{x}{6})^2}}\;dx$$

利用變數變換 (Integration by Substitution)，

令 

$$\frac{x}{6} = \sin\theta$$

可知 

$$\theta = \sin^{-1}\frac{x}{6}$$

且

$$x=6\sin\theta$$

$$dx=6\cos\theta\; d\theta$$

則

$$\;\;\;\;\;I=\int_{\sin^{-1}0}^{\sin^{-1}\frac{1}{2}} \frac{(6\sin\theta)(6\cos\theta) }{6\sqrt{1-\sin^2\theta}}\;d\theta$$

$$\;\;\;\;=\int_0^{\frac{\pi}{6}}\frac{(6\sin\theta)(6\cos\theta)}{6\cos\theta}\;d\theta\;\;\;$$

$$\;\;=\int_0^{\frac{\pi}{6}}6\sin\theta\; d\theta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=-6\int_0^{\frac{\pi}{6}}d(\cos\theta)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=\left. -6\cos\theta \right\rvert_0^{\frac{\pi}{6}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;=6(\cos 0-\cos \frac{\pi}{6})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=6\left (1-\frac{\sqrt 3}{2}\right )\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=6-3\sqrt3 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

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上面的求解過程中，所應用到的變數變換的公式與其證明如下：

$\int_{\alpha}^{\beta}p(q(x))q^{'}(x)dx = \int_{q(\alpha )}^{q(\beta)}p(u)du$

證明：

設 $P$ 為 $p$ 的反導函數，意即 

$$P^{'} = p$$

又由鏈鎖律可知

$$P \left (q(x) \right )^{'}=P^{'}\left (q(x) \right) q^{'}(x)$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=p \left (q(x) \right )q^{'}(x)$$

所以，

$$\int_{\alpha}^{\beta}p \left ( q(x) \right ) q^{'}(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta}P \left ( q(x) \right )^{'}dx$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=P \left ( q(\beta) \right ) - P\left ( q(\alpha) \right )$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int_{q(\alpha)}^{q(\beta)}p(u)du$$

得證

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