向量的正射影

圖一  $\;\overrightarrow c \;$ 是 $\;\overrightarrow a \;$ 的正射影

如圖一所示，若 $\overrightarrow c = t \;\;\overrightarrow {b}\;$ 且 $(\;\overrightarrow a - \;\overrightarrow c\;\;)\; \bot \;\overrightarrow b\;$，則 $\;\overrightarrow c\;$ 稱為 $\;\overrightarrow a\;$ 在 $\;\overrightarrow b\;$ 上的正射影 (Orthogonal Projection)。而 $\;\overrightarrow c\;$ 與 $\;\overrightarrow a\;$ 、$\;\overrightarrow b\;$ 的關係如下：

 $proj_{\;\overrightarrow b\;}(\;\overrightarrow a\;) = \;\overrightarrow c \;= \frac{(\;\overrightarrow a \;\cdot \;\overrightarrow b\;)\;\overrightarrow b\;}{|\; \overrightarrow b\; |^2} $

推導一：

已知 $\;\overrightarrow b\;$ 的單位向量為 $\frac{\overrightarrow b}{|\;\overrightarrow b\;|}$，$\;\overrightarrow c = t \;\;\overrightarrow {b}\;$，$t$ 為正實數，則

$$\overrightarrow c = |\;\overrightarrow a \;|\;cos \theta \;\frac{\overrightarrow b}{|\;\overrightarrow b\;|}$$

將上式的分子分母同乘以 $|\; \overrightarrow b \;|$，可得

$$\overrightarrow c =  |\;\overrightarrow a \;||\;\overrightarrow b\;| \;cos \theta \;\frac{\overrightarrow b}{|\;\overrightarrow b\;|^2}$$

又根據內積定義

$$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = |\;a\;||\;b\;|\;cos \theta$$

代入上式，即可得

$$\overrightarrow c\;=\frac{(\;\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b\;)\;\overrightarrow b}{|\;\overrightarrow b\;|^2}\;\;\;\;\;\;$$

推導二：

根據正射影的定義

$$(\;\;\overrightarrow a - \overrightarrow c\;\;)\cdot \overrightarrow b = 0$$

又 $\;\overrightarrow c = t\; \overrightarrow b$，代入上式，可知

$$(\;\overrightarrow a - t\;\overrightarrow b\;)\cdot \overrightarrow b = 0$$

$$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\;-t\;\overrightarrow b\cdot \overrightarrow b =0$$

$$t=\frac{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b}{\overrightarrow b \cdot \overrightarrow b}=\frac{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b}{|\;\overrightarrow b\;|^2}$$

所以，

$$\overrightarrow c = t\;\;\overrightarrow b = \frac{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b}{|\;\overrightarrow b\;|^2}\;\;\overrightarrow b$$

■

接著我們來看正射影長度 $|\;\vec c\;|$，其表示如下：

$|\; \overrightarrow c\;| = |\;\overrightarrow a\;|\;|cos \theta| = \frac{|\;\overrightarrow a \;\cdot\; \overrightarrow b\;|}{|\;\overrightarrow b\;|}$

推導：

 如圖一所示，因為長度必須為正值，所以

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\;\overrightarrow c\;| = |\;\overrightarrow a\;|\;|\;cos \theta\;|\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

又

$$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = |\;a\;||\;b\;|\;cos \theta$$

上式等號兩邊取絕對值，

$$|\;\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b\;| = |\;\overrightarrow a\;|\;|\;\overrightarrow b\;|\;|\;cos\theta\;|$$

可得

$$|\;cos\theta\;| = \frac{|\;\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b\;|}{|\;\overrightarrow a \;|\;|\;\overrightarrow b\;|}$$

代入式子 (1)，即可得

$$|\; \overrightarrow c\;| =\frac{|\;\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b\;|}{|\;\overrightarrow b\;|}$$

■

應用範例一：已知 $\overrightarrow a $ = (7, -4)，$\overrightarrow b $ = (1, -2)，求 $\overrightarrow a $ 在 $\overrightarrow b$ 上的正射影 

解：

$$cos\theta =\frac{\overrightarrow a\; \cdot \overrightarrow b}{|\;\overrightarrow a\;|\;|\;\overrightarrow b\;| }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{(7)(1)+(-4)(-2)}{\sqrt {7^2+(-4)^2}\sqrt {1^2+(-2)^2}}$$

$$=\frac{3}{\sqrt{13}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

又 $\;\overrightarrow b\;$ 的單位向量為

$$\frac{\overrightarrow b}{|\;\overrightarrow b \;|}=\frac{(1, -2)}{\sqrt{5}}=\left (\frac{1}{\sqrt{5}},\; \frac{-2}{\sqrt{5}}\right )$$

所以，$\;\overrightarrow a \;$ 在 $\;\overrightarrow b\;$ 上的正射影

$$\overrightarrow c=|\;\overrightarrow a\;|\; cos\theta \;\frac{\overrightarrow b}{|\;\overrightarrow b \;|}=\left (\sqrt{65}\right)\left ( \frac{3}{\sqrt{13}}\right )\left (\frac{1}{\sqrt{5}},\; \frac{-2}{\sqrt{5}}\right ) = (3, -6)$$

應用範例二：點 $P(0,\;1)$ 到直線 $L:\; 4x-3y-5=0$ 的距離為何？

解：

令 $x=t$ 代入 $4x-3y-5=0$，得 $y=\frac {4t-5}{3}$，即任一點 $A(t,\;\frac {4t-5}{3})$ 滿足直線 $4x-3y-5=0$。

又

$$\overrightarrow {PA}=\left (t-0,\;\frac{4t-5}{3}-1\right)=\left (t,\;\frac{4t-8}{3}\right)$$

且直線 $L:\; 4x-3y-5=0$ 的法向量 $\overrightarrow n = (4,\;-3)$，可知

$$\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow n = |\;\overrightarrow {PA}\;|\;|\;\overrightarrow n\;|\;cos \theta$$

$$ |\;\overrightarrow {PA}\;|\;cos \theta =\frac{\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow n}{|\;\overrightarrow n\;|}$$

則所求的點 $P(0,\;1)$ 到直線 $L:\; 4x-3y-5=0$ 的距離為

$$|\;\overrightarrow {PA}\;|\;|\;cos \theta \;|=\frac{|\;\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow n\;|\;}{|\;\overrightarrow n\;|}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{|\;4t-4t+8\;|}{\sqrt {4^2+(-3)^2}}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{8}{5}$$