向量的正射影

作者： Danny Yang



圖一  $\;\overrightarrow c \;$ 是 $\;\overrightarrow a \;$ 的正射影

如圖一所示，若 $\overrightarrow c = t \;\;\overrightarrow {b}\;$ 且 $(\;\overrightarrow a - \;\overrightarrow c\;\;)\; \bot \;\overrightarrow b\;$，則 $\;\overrightarrow c\;$ 稱為 $\;\overrightarrow a\;$ 在 $\;\overrightarrow b\;$ 上的正射影 (Orthogonal Projection)。而 $\;\overrightarrow c\;$ 與 $\;\overrightarrow a\;$ 、$\;\overrightarrow b\;$ 的關係如下：


$proj_{\;\overrightarrow b\;}\;\overrightarrow a\; = \;\overrightarrow c \;= \frac{(\;\overrightarrow a \;\cdot \;\overrightarrow b\;)\;\overrightarrow b\;}{|\; \overrightarrow b\; |^2} =\frac{(\;\overrightarrow a \;\cdot \;\overrightarrow b\;)\;\overrightarrow b\;}{ \overrightarrow b\; \cdot \;\overrightarrow b}$


推導一：

已知 $\;\overrightarrow b\;$ 的單位向量為 $\frac{\overrightarrow b}{|\;\overrightarrow b\;|}$，$\;\overrightarrow c = t \;\;\overrightarrow {b}\;$，$t$  為正實數，則
$$\overrightarrow c = |\;\overrightarrow a \;|\cos \theta \;\frac{\overrightarrow b}{|\;\overrightarrow b\;|}$$
將上式的分子分母同乘以 $|\; \overrightarrow b \;|$，可得
$$\overrightarrow c =  |\;\overrightarrow a \;||\;\overrightarrow b\;| \cos \theta \;\frac{\overrightarrow b}{|\;\overrightarrow b\;|^2}$$
又根據內積定義
$$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = |\;a\;||\;b\;|\cos \theta$$
代入上式，即可得
$$\overrightarrow c\;=\frac{(\;\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b\;)\;\overrightarrow b}{|\;\overrightarrow b\;|^2}=\frac{(\;\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b\;)\;\overrightarrow b}{\;\overrightarrow b\;\cdot \;\overrightarrow b}$$


推導二：

根據正射影的定義
$$(\;\;\overrightarrow a - \overrightarrow c\;\;)\cdot \overrightarrow b = 0$$
又 $\;\overrightarrow c = t\; \overrightarrow b$，代入上式，可知
$$(\;\overrightarrow a - t\;\overrightarrow b\;)\cdot \overrightarrow b = 0$$
$$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\;-t\;\overrightarrow b\cdot \overrightarrow b =0$$
$$t=\frac{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b}{\overrightarrow b \cdot \overrightarrow b}=\frac{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b}{|\;\overrightarrow b\;|^2}$$
所以，
$$\overrightarrow c = t\;\;\overrightarrow b = \frac{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b}{|\;\overrightarrow b\;|^2}\;\;\overrightarrow b=\frac{(\;\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b\;)\;\overrightarrow b}{\;\overrightarrow b\;\cdot \;\overrightarrow b}$$

■

接著我們來看正射影長度 $|\;\vec c\;|$，其表示如下：


$|\; \overrightarrow c\;| = |\;\overrightarrow a\;|\;|\cos \theta \;| = \frac{|\;\overrightarrow a \;\cdot\; \overrightarrow b\;|}{|\;\overrightarrow b\;|}$


推導：

 如圖一所示，因為長度必須為正值，所以
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\;\overrightarrow c\;| = |\;\overrightarrow a\;|\;|\cos  \theta\;|\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$
又
$$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = |\;a\;||\;b\;|\cos \theta$$
上式等號兩邊取絕對值，
$$|\;\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b\;| = |\;\overrightarrow a\;|\;|\;\overrightarrow b\;|\;|\cos \theta\;|$$
可得
$$|\;\cos \theta\;| = \frac{|\;\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b\;|}{|\;\overrightarrow a \;|\;|\;\overrightarrow b\;|}$$
代入式子 (1)，即可得
$$|\; \overrightarrow c\;| =\frac{|\;\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b\;|}{|\;\overrightarrow b\;|}$$
■


應用範例一：已知 $\overrightarrow a $ = (7, -4)，$\overrightarrow b $ = (1, -2)，求 $\;\overrightarrow a $  在  $\overrightarrow b$ 上的正射影 

解：
$$\cos\theta =\frac{\overrightarrow a\; \cdot \overrightarrow b}{|\;\overrightarrow a\;|\;|\;\overrightarrow b\;| }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{(7)(1)+(-4)(-2)}{\sqrt {7^2+(-4)^2}\sqrt {1^2+(-2)^2}}$$
$$=\frac{3}{\sqrt{13}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
又 $\;\overrightarrow b\;$ 的單位向量為
$$\frac{\overrightarrow b}{|\;\overrightarrow b \;|}=\frac{(1, -2)}{\sqrt{5}}=\left (\frac{1}{\sqrt{5}},\; \frac{-2}{\sqrt{5}}\right )$$
所以，$\;\overrightarrow a \;$ 在 $\;\overrightarrow b\;$  上的正射影
$$\overrightarrow c=|\;\overrightarrow a\;|\cos \theta \;\frac{\overrightarrow b}{|\;\overrightarrow b \;|}=\left (\sqrt{65}\right)\left ( \frac{3}{\sqrt{13}}\right )\left (\frac{1}{\sqrt{5}},\; \frac{-2}{\sqrt{5}}\right ) = (3, -6)$$



應用範例二：點 $P(0,\;1)$ 到直線 $L:\; 4x-3y-5=0$ 的距離為何？


解：

令 $x=t$ 代入 $4x-3y-5=0$，得 $y=\frac {4t-5}{3}$，即任一點 $A(t,\;\frac {4t-5}{3})$ 滿足直線 $4x-3y-5=0$。
又
$$\overrightarrow {PA}=\left (t-0,\;\frac{4t-5}{3}-1\right)=\left (t,\;\frac{4t-8}{3}\right)$$
且直線 $L:\; 4x-3y-5=0$ 的法向量 $\overrightarrow n = (4,\;-3)$，可知
$$\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow n = |\;\overrightarrow {PA}\;|\;|\;\overrightarrow n\;|\cos \theta$$
$$ |\;\overrightarrow {PA}\;|\cos \theta =\frac{\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow n}{|\;\overrightarrow n\;|}$$
則所求的點 $P(0,\;1)$ 到直線 $L:\; 4x-3y-5=0$ 的距離為
$$|\;\overrightarrow {PA}\;|\;|\cos \theta \;|=\frac{|\;\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow n\;|\;}{|\;\overrightarrow n\;|}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{|\;4t-4t+8\;|}{\sqrt {4^2+(-3)^2}}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{8}{5}$$


應用範例三：找出  $\overrightarrow b=3\overrightarrow i+6\overrightarrow j+2\overrightarrow k$  在  $\overrightarrow a=-2\overrightarrow i-2\overrightarrow j+\overrightarrow k$  上的正射影，以及該正射影的長度。

解：

$$Proj_{\;\overrightarrow a}\;\;\overrightarrow b=\frac {(\;\overrightarrow b \cdot \overrightarrow a\;)}{|\;\overrightarrow a\;|^2}\;\overrightarrow a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{-6-12+2}{4+4+1}(-2\;\;\overrightarrow i-2\;\;\overrightarrow j+\;\overrightarrow k)$$
$$\;\;\;\;\;\;\;=\frac{32}{9}\;\;\overrightarrow i+\frac{32}{9}\;\;\overrightarrow j- \frac{16}{9}\;\;\overrightarrow k$$
$$正射影長度=\frac {|\;\;\overrightarrow b \cdot \;\overrightarrow a\;\;|}{|\;\;\overrightarrow a\;\;|}=\frac{16}{3}$$







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