N 通道增強型 MOSFET 在飽和區操作時的 I–V 特性方程式之推導

N 通道增強型 MOSFET 在飽和區操作時，若忽略通道長度調變效應的理想情況下，其 I–V 特性方程式為

$$I_D = K (V_{GS} - V_t)^2$$

實際上若考慮通道長度調變效應，則上式應修正為

$$I_D \approx K (V_{GS} - V_t)^2(1+\frac{V_{DS}}{V_A})$$

以下將針對這兩種情況，分別推導上述的兩公式。

理想的 $I-V$ 特性方程式

如圖一所示，為ㄧ N 通道增強型 MOSFET 操作在不同的 $V_{GS}$ 時的理想 $I_D-V_{DS}$ 特性曲線圖。當 $V_{DS} < V_{GS} - V_t$ 時，N 通道增強型 MOSFET 操作在歐姆區 (Ohmic Region)；當 $V_{DS} > V_{GS} - V_t$ 時，N 通道增強型 MOSFET 則操作在飽和區 (Saturation Region)。而當 $V_{DS} = V_{GS} - V_t$ 時， $V_{DS}$ 為一臨界值，MOSFET 的操作剛好要由歐姆區進入飽和區。且一旦進入飽和區，理想的情況下 $I_D$ 不會隨 $V_{DS}$ 值的變化而改變，會維持一定值。因此， $I_D$ 在臨界點位置的值，等同於相同的 $V_{GS}$ 時 MOSFET 操作在飽和區時的值。

從圖一可觀察到，不同的 $V_{GS}$ 在 $I_D-V_{DS}$ 特性曲線圖中， MOSFET 的操作由歐姆區進入飽和區的臨界點的集合為一二次函數：即一開口向上，且頂點為原點 $(0, 0)$ 的拋物線右半部。

圖一    N 通道增強型 MOSFET 在不同的 $V_{DS}$ 值時的理想  $I_D-V_{DS}$  特性曲線圖

已知二次函數可寫成

$$f(x) = ax^2 + bx + c\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=a(x-h)^2 + k\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(a\neq 0)$$

其中的 $(h, k)$ 為此二次函數的頂點座標。

因此，N 通道增強型 MOSFET 在不同的 $V_{GS}$ 操作下，$I_D-V_{DS}$ 特性曲線中臨界點的集合形成的曲線方程式可寫成

$$I_D = K(V_{DS} - 0)^2$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=KV_{DS}^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(K\neq 0)$$

又已知此情況下，$V_{DS} = V_{GS} - V_t$，因此

$I_D = K (V_{GS} - V_t)^2$               (1)

其中 $K$ 為一常數且其值可由下式決定：

$K = \frac{1}{2}\mu C_0(\frac{W}{L})$               (2)

上式中的 $\mu $ 為感應通道中主要載子 (在此是電子) 的遷移率 (Mobility)，$C_0$ 是閘級與通道間每單位面積的電容量，$W$ 是通道的寬度，而 $L$ 則是通道的長度。

考慮通道長度調變效應的 $I_D - V_{DS}$ 特性方程式推導

上面的理想的 $I_D - V_{DS}$ 特性曲線以及特性方程式的推導，是基於當 MOSFET 的通道的汲極端 (Drain End) 夾止 (pinched off) 時，進一步增加 $ V_{DS}$ 並不會改變通道的形狀的假設。實際上，通道的形狀是會因 $ V_{DS}$ 的增加而改變，且通道的長度會隨之略為縮短，此現象被稱為通道長度調變效應 (Channel-length Modulation)。由式子 (2) 可知：若通道長度 $L$ 變小，則 $K$ 值會變大，因而導致 $I_D$ 隨 $V_{DS}$ 的增加而增加，而實際的 $I_D - V_{DS}$ 特性曲線如圖二所示。

圖二    實際的 $I_D - V_{DS}$  特性曲線

如圖三所示，當 $V_{GS} = V_{GS1}$ 時N 通道增強型 MOSFET 的 $I_D - V_{DS}$ 特性曲線，透過輔助線連結可輕易找到兩相似三角形 $\Delta ABO$ 以及 $\Delta CDE$。若 $V_{GS} = V_{GS1}$  時的 $I_{D1} = K(V_{GS1} - V_t)^2$，若無通道長度調變效應，當 $V_{DS} > V_{GS} - V_t$ 時，$I_{D1}$ 值並不會隨著 $V_{DS}$ 的增加而增加，會維持一定值。但在考慮通道長度調變效應下，實際上的 $I_D = I_{D1} + \Delta I_D$，$\Delta I_D$ 為一修正量，$V_{DS}$ 愈大其值就愈大。

圖三    當 $V_{GS} = V_{GS1}$ 時 N 通道增強型 MOSFET 的 $I_D - V_{DS}$  特性曲線，透過輔助線連結可輕易找到兩相似三角形 $\Delta ABO$ 以及 $\Delta CDE$

又從圖三可知：

$$\Delta I_D = [V_{DS1} - ( V_{GS1} - V_t)]\;tan\angle C$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;=[V_{DS1} - (V_{GS1} - V_t)]\;tan\angle A$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\approx V_{DS1}\;tan \angle A \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$             

且 

$tan \angle A = \frac{I_{D1}}{V_{GS1}-V_t + V_A}$

加上因為 $V_A \gg V_{GS1} - V_t$，所以

$tan \angle A \approx \frac{I_{D1}}{V_A}$

代入式子 (3) 可得

$$I_D = I_{D1} + \Delta I_D$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\approx I_{D1} + V_{DS1}\frac{I_{D1}}{V_A}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\approx I_{D1}(1+\frac{V_{DS1}}{V_A})$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\approx K(V_{GS1} - V_t)^2(1+\frac{V_{DS1}}{V_A})$$

因此，對任何的 $V_{DS}$ 與 $V_{GS}$，若滿足 $ V_{DS} > V_{GS} - V_t$ 時，

$$I_D \approx K(V_{GS} - V_t)^2(1+\frac{V_{DS}}{V_A})$$            

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