N 通道增強型 MOSFET 在歐姆區操作時的 I–V 特性方程式之推導

如圖一所示，為ㄧ N 通道增強型 MOSFET 在已知 $V_{GS}$ 值時的理想 $I_D - V_{DS}$  特性曲線圖。當 $V_{GS} < V_{GS}-V_t$  時，N 通道增強型 MOSFET 操作在歐姆區 (Ohmic Region) 或稱三極區 (Triode Region) 或是非飽和區 (Nonsaturation Region)，其  $I_D - V_{DS}$ 特性曲線方程式為一二次函數：即ㄧ開口向下，頂點座標為 $(V_{GS}-V_t, I_{D1})$，且經過原點的拋物線的左半部。其中的 $I_{D1} = K(V_{GS}-V_t)^2$ ，為 N 通道增強型 MOSFET 的操作由歐姆區進入飽和區臨界點的 $I_D$ 表示式，而 $K$ 為一常數且其值可由下式決定：

$$K=\frac{1}{2}\mu C_{o}(\frac{W}{L})$$

上式中的 $\mu$ 為感應通道中主要載子 ( 在此是電子) 的遷移率 (mobility)，$C_o$ 是閘極與通道間每單位面積的電容量，$W$ 是通道的寬度，而 $L$ 則是通道的長度。

圖一   N 通道增強型 MOSFET 在 $V_{GS}$ 為已知時的 $I_D - V_{DS}$  理想特性曲線圖

已知二次函數可寫成

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=a(x-h)^2+k\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(a \neq 0)$$

其中的 $(h, k)$ 為此二次函數的頂點座標。

因此，N 通道增強型 MOSFET 在歐姆區操作的 $I_D - V_{DS}$ 特性方程式可寫成

$$I_D = a [\;V_{DS} - (V_{GS} - V_t)\;]^2 + I_{D1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= a [\;V^2_{DS} - 2(V_{GS} - V_t)V_{DS} + (V_{GS} - V_t)^2 \;]+ K(V_{GS} - V_t)^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

又點 $(I_D, V_{DS})  = (0, 0)$ 滿足式子 (1)，將該點代入可得

$$ 0 = a (V_{GS} - V_t)^2 + K(V_{GS} - V_t)^2$$

因為 $V_{GS} - V_t \neq 0$， 可知

$$a = -K\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$

最後，將式子 (2) 代入式子 (1) 可得

$$I_D = -K[\;V^2_{DS} - 2(V_{GS} - V_t)V_{DS} + (V_{GS} - V_t)^2\;] + K(V_{GS} - V_t)^2$$

$$= -K[\;V^2_{DS} - 2(V_{GS} - V_t)V_{DS}\;] \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$= K[\;2(V_{GS} - V_t)V_{DS} - V^2_{DS}\;] \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

推導完成。

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