向量三重積與四重積 | 向量三重積與四重積證明

 Proofs of Triple and Quadruple Vector Products

向量三重積 (Vector Triple Product) 的等式如下：

$1.\;\; \mathbf A \times (\mathbf B \times \mathbf C)=(\mathbf A \cdot \mathbf C)\mathbf B-(\mathbf A \cdot   \mathbf B)\mathbf C$

證明：

設 

$$\mathbf A=a_1 \;\mathbf i + a_2 \;\mathbf j + a_3\; \mathbf k$$

$$\mathbf B=b_1\; \mathbf i + b_2 \;\mathbf j + b_3 \;\mathbf k$$

$$\mathbf C=c_1 \;\mathbf i + c_2 \;\mathbf j + c_3 \;\mathbf k$$

則應用外積定義，可知

$$\mathbf B \times \mathbf C = \left |\begin{matrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf  k \\b_1& b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix}\right  | \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left | \begin{matrix}b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \end {matrix} \right | \;\mathbf i - \left | \begin{matrix}b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \end {matrix} \right | \;\mathbf j + \left | \begin{matrix}b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \end {matrix} \right | \;\mathbf k\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=(b_2c_3-b_3c_2)\;\mathbf i - (b_1c_3-b_3c_1)\;\mathbf j + (b_1c2-b_2c_1)\;\mathbf k$$

因此

$$\mathbf A \times (\mathbf B \times \mathbf C) = \left | \begin {matrix} \mathbf i  & \mathbf j & \mathbf k \\a_1 & a_2 & a_3 \\ (b_2c_3-b_3c_2) & -(b_1c_3-b_3c_1) & (b_1c_2-b_2c_1)\end {matrix}\right | \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left | \begin {matrix}a_2 & a_3 \\ -(b_1c_3-b_3c_1) & (b_1c_2-b_2c_1) \end {matrix} \right | \;\mathbf i - \left |   \begin{matrix}a_1 & a_3 \\ (b_2c_3- b_3c_2) &  (b_1c_2-b_2c_1) \end {matrix}\right | \;\mathbf j   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;+ \left | \begin {matrix}a_1 & a_2 \\(b_2c_3-b_3c_2) & -(b_1c_3-b_3c_1) \end {matrix}\right |\; \mathbf k \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=(a_2 b_1 c_2-a_2 b_2c_1+a_3b_1c_3-a_3b_3c_1)\;\mathbf i -(a_1b_1c_2-a_1b_2c_1-a_3b_2c_3+a_3b_3c_2)\;\mathbf j \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-(a_1b_1c_3-a_1b_3c_1+a_2b_2c_3-a_2b_3c_2)\;\mathbf k \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=[b_1(a_2c_2+a_3c_3)-c_1(a_2b_2+a_3b_3)]\;\mathbf i+[b_2(a_3c_3+a_1c_1)-c_2(a_3b_3+a_1b_1)]\;\mathbf k$$

$$+[b_3(a_2c_2+a_1c_1)-c_3(a_2b_2+a_1b_1)]\;\mathbf k \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=b_1(a_2c_2+a_3c_3)\;\mathbf i+b_2(a_1c_1+a_3c_3)\;\mathbf j+b_3(a_1c_1+a_2c_2)\;\mathbf j\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$-c_1(a_2b_2+a_3b_3)\;\mathbf i-c_2(a_1b_1+a_3b_3)\;\mathbf j-c_3(a_1b_1+a_2b_2)\;\mathbf k \;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=b_1(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)\;\mathbf i+b_2(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)\;\mathbf j+b_3(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)\;\mathbf k$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-c_1(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)\;\mathbf i-c_2(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)\;\mathbf j-c_3(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)\;\mathbf k$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)(b_1\;\mathbf i+b_2\;\mathbf j+b_3\;\mathbf k)-(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)(c_1\;\mathbf i + c_2\;\mathbf j+c_3\;\mathbf k)$$

$$=(\mathbf A \cdot \mathbf C)\mathbf B-(\mathbf A \cdot \mathbf B)\mathbf C \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$2.\;\;(\mathbf A \times \mathbf B)\times \mathbf C=(\mathbf A \cdot \mathbf C)\mathbf B -(\mathbf B\cdot \mathbf C)\mathbf A$ 

證明：

設 

$$\mathbf A=a_1 \;\mathbf i + a_2 \;\mathbf j + a_3\; \mathbf k$$

$$\mathbf B=b_1\; \mathbf i + b_2 \;\mathbf j + b_3 \;\mathbf k$$

$$\mathbf C=c_1 \;\mathbf i + c_2 \;\mathbf j + c_3 \;\mathbf k$$

則應用外積定義，可知

$$\mathbf A \times \mathbf B= \left |\begin{matrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf  k \\a_1& a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix}\right  | \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left | \begin{matrix}a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end {matrix} \right | \;\mathbf i - \left | \begin{matrix}a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end {matrix} \right | \;\mathbf j + \left | \begin{matrix}a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end {matrix} \right | \;\mathbf k\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=(a_2b_3-a_3b_2)\;\mathbf i - (a_1b_3-a_3b_1)\;\mathbf j + (a_1b_2-a_2b_1)\;\mathbf k$$

因此

$$(\mathbf A \times \mathbf B) \times \mathbf C = \left | \begin {matrix} \mathbf i  & \mathbf j & \mathbf k  \\ (a_2b_3-a_3b_2) & -(a_1b_3-a_3b_1) & (a_1b_2-a_2b_1)\\c_1 & c_2 & c_3\end {matrix}\right | \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left | \begin {matrix}-(a_1b_3-a_3b_1) & (a_1b_2-a_2b_1)\\c_2 & c_3   \end {matrix} \right | \;\mathbf i - \left |   \begin{matrix}(a_2b_3- a_3b_2) &  (a_1b_2-a_2b_1)\\ c_1 & c_3  \end {matrix}\right | \;\mathbf j   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;+ \left | \begin {matrix}(a_2b_3-a_3b_2) & -(a_1b_3-a_3b_1) \\ c_1 & c_2\end {matrix}\right |\; \mathbf k \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-(a_1 b_3 c_3-a_3 b_1c_3+a_1b_2c_2-a_2b_1c_2)\;\mathbf i -(a_2b_3c_3-a_3b_2c_3-a_1b_2c_1+a_2b_1c_1)\;\mathbf j \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+(a_2b_3c_2-a_3b_2c_2+a_1b_3c_1-a_3b_1c_1)\;\mathbf k \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=[b_1(a_2c_2+a_3c_3)-a_1(b_2c_2+b_3c_3)]\;\mathbf i+[b_2(a_3c_3+a_1c_1)-a_2(b_3c_3+b_1c_1)]\;\mathbf j$$

$$\;\;\;\;+[b_3(a_2c_2+a_1c_1)-a_3(b_2c_2+b_1c_1)]\;\mathbf k \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=b_1(a_2c_2+a_3c_3)\;\mathbf i+b_2(a_1c_1+a_3c_3)\;\mathbf j+b_3(a_1c_1+a_2c_2)\;\mathbf k\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$-a_1(b_2c_2+b_3c_3)\;\mathbf i-a_2(b_1c_1+b_3c_3)\;\mathbf j-a_3(b_1c_1+b_2c_2)\;\mathbf k \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=b_1(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)\;\mathbf i+b_2(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)\;\mathbf j+b_3(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)\;\mathbf k$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-a_1(b_1c_1+b_2c_2+b_3c_3)\;\mathbf i-a_2(b_1c_1+b_2c_2+b_3c_3)\;\mathbf j-a_3(b_1c_1+b_2c_2+b_3c_3)\;\mathbf k$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)(b_1\;\mathbf i+b_2\;\mathbf j+b_3\;\mathbf k)-(b_1c_1+b_2c_2+b_3c_3)(a_1\;\mathbf i + a_2\;\mathbf j+a_3\;\mathbf k)$$

$$=(\mathbf A \cdot \mathbf C)\mathbf B-(\mathbf B \cdot \mathbf C)\mathbf A \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

向量四重積 (Vector Quadruple Product) 的等式如下：

$3.\;\; (\mathbf A \times \mathbf B) \times (\mathbf C \times \mathbf D) = [\mathbf A, \mathbf C, \mathbf D]\;\mathbf B-[\mathbf B, \mathbf C, \mathbf D]\;\mathbf A$

證明：

令 $\mathbf C \times \mathbf D = \mathbf M$，且由上面等式 $2$ 可知 $(\mathbf F \times \mathbf G)\times \mathbf H=(\mathbf F \cdot \mathbf H)\mathbf G -(\mathbf G\cdot \mathbf H)\mathbf F$

所以，

$$ (\mathbf A \times \mathbf B) \times (\mathbf C \times \mathbf D) =(\mathbf A \times \mathbf B) \times \mathbf M \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=(\mathbf A \cdot \mathbf M)\mathbf B - (\mathbf B \cdot \mathbf M)\mathbf A\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=[\mathbf A \cdot (\mathbf C \times \mathbf D)]\;\mathbf B - [\mathbf  B \cdot (\mathbf C \times \mathbf D)]\;\mathbf A$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;=[\mathbf A, \mathbf C, \mathbf D]\;\mathbf B-[\mathbf B, \mathbf C, \mathbf D]\;\mathbf A$$

$4.\;\;(\mathbf A \times \mathbf B) \cdot (\mathbf C \times \mathbf D)=(\mathbf A \cdot \mathbf C)(\mathbf B \cdot \mathbf D) - (\mathbf A \cdot \mathbf D)(\mathbf B \cdot \mathbf C)$

證明：

$$\mathbf A=a_1 \;\mathbf i + a_2 \;\mathbf j + a_3\; \mathbf k$$

$$\mathbf B=b_1\; \mathbf i + b_2 \;\mathbf j + b_3 \;\mathbf k$$

$$\mathbf C=c_1 \;\mathbf i + c_2 \;\mathbf j + c_3 \;\mathbf k$$

$$\mathbf D=d_1 \;\mathbf i + d_2 \;\mathbf j + d_3 \;\mathbf k$$

$$\mathbf A \times \mathbf B = (a_2b_3-a_3b_2)\mathbf i -(a_1b_3-a3b_1)\mathbf j +(a_1b_2-a_2b_1)\mathbf k$$

$$\mathbf C \times \mathbf D = (c_2d_3-c_3d_2)\mathbf i-(c_1d_3-c_3d_1)\mathbf  j+(c_1d_2-c_2d_1)\mathbf k$$

$$(\mathbf A \times \mathbf B) \cdot (\mathbf C \times \mathbf D)=(a_2b_3-a_3b_2)(c_2d_3-c_3d_2)+(a_1b_3-a_3b_1)(c_1d_3-c_3d_1)+(a_1b_2-a_2b_1)(c_1d_2-c_2d_1)$$

$$=a_2b_3c_2d_3-a_2b_3c_3d_2-a_3b_2c_2d_3+a_3b_2c_3d_2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$+\;a_1b_3c_1d_3-a_1b_3c_3d_1-a_3b_1c_1d_3+a_3b_1c_3d_1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$+\;a_1b_2c_1d_2-a_1b_2c_2d_1-a_2b_1c_1d_2+a_2b_1c_2d_1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=a_1c_1(b_1d_1+b_2d_2+b_3d_3)+a_2c_2(b_1d_1+b_2d_2+b_3d_3)+a_3c_3(b_1d_1+b_2d_2+b_3d_3)$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\;a_1d_1(b_1c_1+b_2c_2+b_3c_3)-a_2d_2(b_1c_1+b_2d_2+b_3d_3)-a_3d_3(b_1c_1+b_2c_2+b_3c_3)$$

$$=(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)(b_1d_1+b_2d_2+b_3d_3)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$-(a_1d_1+a_2d_2+a_3d_3)(b_1c_1+b_2c_2+b_3c_3)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=(\mathbf A \cdot \mathbf C)(\mathbf B \cdot \mathbf D)-(\mathbf A \cdot \mathbf D)(\mathbf B \cdot \mathbf C)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$