可上下數的三位元同步計數器設計

Synchronous 3-bit Up/Down Counter Design

二進位的同步計數器的設計步驟為：

一、列出計數順序的狀態圖 (State Diagram)

二、決定正反器的種類與數目

三、列出同步計數器的狀態激勵表 (State Excitation Table)

四、以卡諾圖 (K-map) 化簡狀態激勵表後，找出個正反器輸入的邏輯表示式

五、畫出邏輯電路。

接下來，我們將依照上面的步驟，說明如何設計可上下數的三位元同步計數器。

狀態圖

狀態圖用是來說明同步計數器的計數輸出的變化，如圖一所示為可控制上下數的三位元同步計數器的狀態圖，其中當控制信號 $c=0$ 時，三位元同步計數器執行上數，其輸出端 $Q_2Q_1Q_0$ 的計數順序為 000 $\rightarrow$ 001 $\rightarrow$ 010 $\rightarrow$ 011 $\rightarrow$ 100 $\rightarrow$ 101 $\rightarrow$ 110 $\rightarrow$ 111 $\rightarrow$ 000；而 $c=1$ 時，則執行下數，其輸出端的計數順序為 000 $\rightarrow$ 111 $\rightarrow$ 110 $\rightarrow$ 101 $\rightarrow$ 100 $\rightarrow$ 011 $\rightarrow$ 010 $\rightarrow$ 001 $\rightarrow$ 000。

圖一  可控制上下數的三位元同步計數器狀態圖

正反器的種類與數目

正反器的種類，在此選擇的是 $JK$ 正反器。$n$ 個正反器，可以設計出 $2^n$ 模上數或下數的同步計數器。而有 8 個計數狀態 ( 8 模 ) 的三位元同步計數器，因為 $2^3=8$，需要的正反器數目為 3 個，其計數範圍則為 $0$ 至 $2^3-1$。

狀態激勵表

要列出可上下數三位元同步計數器的狀態激勵表，則必須先寫出 $JK$ 正反器的激勵表 (Excitation Table) ，再與狀態圖綜合起來就可以得到，而其中的激勵表則是推導自正反器的真值表。首先，我們來看 $JK$ 正反器的真值表，如圖二所示：

圖二  $JK$ 正反器的真值表

從圖二的真值表可知：

1.  當 $JK$ 正反器的現態 (Present State) 輸出 $Q_n =0$，時脈觸發後轉變的次態 (Next State)  $Q_{n+1}= 0$ 時，則輸入 $J=0$、$K=0$ 或 $J=0$、$K=1$ 皆可達到目的。其中 $K$ 為 $0$ 或為 $1$ 皆可的情況稱之為隨意項 (Don't Care Condition)，以 $X$ 或 $\varnothing$ 表示。

2.  當現態輸出 $Q_n = 0$ 要轉變成次態 $Q_{n+1} = 1$ 時，則輸入  $J=1$、$K=0$ 或 $J=1$、$K=1$。

3.  當現態輸出 $Q_n = 1$ 要轉變成次態 $Q_{n+1} = 0$ 時，則輸入 $J=1$、$K=1$ 或 $J=0$、$K=1$。 

4.  當現態輸出 $Q_n = 1$ 要轉變成次態 $Q_{n+1} = 1$ 時，則輸入 $J=1$、$K=0$ 或 $J=0$、$K=0$。 

綜合上述，即可列出 $JK$ 正反器的激勵表，如圖三所示。

圖三  JK 正反器的激勵表 ( X 表示隨意項，可為 0 或 1 )

接著再根據圖一的狀態圖與圖三的 $JK$ 正反器的激勵表，就可寫出如圖四所示的狀態激勵表：

圖四  可上下數的三位元同步計數器的狀態激勵表

例如計數值為 0 時，$c=0$ ( 上數 )，現態 $Q_2=0$ 要轉變成次態 $Q_2=0$，根據激勵表可知須輸入 $J_2=0$ 且 $K_2=X$；現態 $Q_1=0$ 要轉變成次態 $Q_1=0$，則須輸入 $J_1=0$ 且 $K_1=X$；現態 $Q_0=0$ 要轉變成次態 $Q_0=1$，則須輸入 $J_1=1$ 且 $K_1=X$。

卡諾圖化簡

將圖四狀態激勵表的輸入狀態，填入卡諾圖中進行化簡，以找出各個 $JK$ 正反器輸入端的最簡邏輯表示式，如圖五至圖十所示。

圖五  J2 邏輯表示式的卡諾圖化簡

圖六  K2 邏輯表示式的卡諾圖化簡

圖七  J1 邏輯表示式的卡諾圖化簡

圖八  K1 邏輯表示式的卡諾圖化簡

圖九  J0 邏輯表示式的卡諾圖化簡

圖十  K0 邏輯表示式的卡諾圖化簡

電路圖

最後，根據上面的簡化邏輯表示式，所畫出的電路圖如圖十一所示。

圖十一  可上下數的三位元同步計數器電路

相關文章

• 基本的交通號誌控制電路
• 有紅燈倒數計時的基本交通號誌控制電路