半波整流三角波的平均值與有效值

作者： Danny Yang
The RMS (Root Mean Square) and Average Value of A Half-Wave Rectified Triangular Wave


圖一所示為一上升部分與下降部分對稱三角波的半波整流後波形，下面將分別推導其平均值 $V_{av}$ 與有效值 $V_{rms}$。

週期為 T 的半波整流三角波
圖一    週期為 T 的半波整流三角波


$0 \le t \lt \frac{T}{4}$ 時的波形函式

如圖二所示，週期為 T 的半波整流三角波在   $0 \le t \lt \frac{T}{4}$  時為波形上升部分，可知


三角波上升部分
圖二   三角波上升部分

$$\frac{v}{t} = \frac{V_m}{\frac{T}{4}}$$
整理可得波形上升部分的波形函數為
$$v = \frac{4}{T}V_m t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \le t \lt \frac{T}{4}$$


$\frac{T}{4} \lt t \le 0$ 時的波形函式

如圖三所示，週期為 T 的半波整流三角波在  $\frac{T}{4} \lt t \le 0$ 時為波形下降部分。此下降部分的波形與上升部分對稱，因此下降部分的波形可視為是上升部分對稱於 $v$ 軸的波形 (即 $v = - \frac{4}{T}V_m t$)，再平移 $\frac{T}{2}$ ( $t$ 變成 $t - \frac{T}{2}$)。所以波形下降部分
$$v = - \frac{4}{T}V_m \left (t-\frac{T}{2}\right )\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{T}{4} \lt t \le 0$$

三角波下降部分
圖三   三角波下降部分
         

平均值 $V_{av}$ 推導

一週期性電壓波形 $v(t)$ 的平均值的計算公式如下：
$$V_{av} = \frac{1}{T}\int_0^T v(t)dt$$
由於三角波下降部分的波形與上升部分對 $t = \frac{T}{4}$ 對稱，故平均值
$$V_{av} = \frac{2}{T}\int_0^\frac{T}{4}\frac{4}{T}V_m t dt = \frac{V_m}{4}$$


有效值 $V_{rms}$ 推導

 一週期性電壓波形  $v(t)$  的有效值的計算公式如下：
$$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v(t)^2dt}$$
同樣地，由於三角波下降部分的波形與上升部分對稱，所以其有效值
$$V_{rms} =\sqrt{\frac{2}{T}\int_0^\frac{T}{4}(\frac{4}{T}V_m t)^2dt}  = \frac{V_m}{\sqrt{6}}$$



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