RC 與 RL 串聯電路的時間常數單位導出

  

以下將分別以 SI 基本單位以及其它單位導出 RC 與 RL 串聯電路的時間常數：

$RC$ 串聯電路的時間常數以 $SI$ 基本單位導出

如上圖所示的 $RC$ 串聯電路，設電容 $C$ 的電壓為 $v_C(t)$，且 $t = 0_+$ 時， $v_c(0_+) = 0$，則

$v_c(t) = V_B(1-e^\frac{-t}{\tau})$

其中的 $\tau = RC$，稱為該電路的時間常數。 接下來，我們以 $SI$ 基本單位來導出時間常數的單位。

因為

$W=I^2Rt=FScos\theta=maScos\theta$        〔其中的 $\theta$ 為力 $\vec F$ 與位移$\vec S$ 的夾角〕

所以電阻 $R$ 的單位 $\Omega$，若以 $SI$ 基本單位表示，也可表示為 $kgm^2s^{-3}A^{-2}$。

又

電容    $C=\frac {Q}{V}$

且電量 $Q=It$，$Q$ 的單位 $C$〔庫倫〕，若以 $SI$ 基本單位表示，也可表示為 $As$。

此外，

$W=IVt= FScos\theta=maScos\theta$

因此，電壓 $V$ 的單位 $V$〔伏特〕，若以 $SI$ 基本單位表示，也可表示為 $kgm^2s^{-3}A^{-1}$。

綜合上述，電容 $C$ 的單位 $F$，若以 $SI$ 基本單位表示，可表示為

 $(As)(kg^{-1}m^{-2}s^3A)=kg^{-1}m^{-2}s^4A^2$

最後，$RC$ 的單位可為

$(kgm^2s^{-3}A^{-2})(kg^{-1}m^{-2}s^4A^2)=s$

亦即，$RC$ 電路的時間常數 $\tau$ 單位為秒 $(s)$ 。     

$RC$ 串聯電路的時間常數單位以其它 $SI$ 單位導出

因為 $R=\frac{V}{I}$，$R$ 的單位 $\Omega$，也可以以 $VA^{-1}$ 表示。又 $C=\frac{Q}{V}$，且 $Q=It$，$C$ 的單位 $F$ 也可以以 $AsV^{-1}$ 表示。所以

$\tau$ 的單位 $= (VA^{-1})(AsV^{-1})=s$

$RL$ 串聯電路的時間常數以 $SI$ 基本單位導出

如上圖所示的 $RL$ 串聯電路，設 $t = 0$ 時， $i(0) = 0$，則

$i(t)=(\frac {V_B}{R})[1-e^{\frac{-t}{\tau}}]$

其中的 $\tau = \frac{L}{R}$，稱為該電路的時間常數。 接下來，我們來以 $SI$ 基本單位來導出時間常數的單位。

因為

$W=\frac{1}{2}LI^2=FScos\theta=mascos\theta$

                                                  

所以，電感 $L$ 的單位 $H$ ，若以 $SI$ 基本單位表示，可表示為 $kgm^2s^{-2}A^{-2}$。

又如前所述，電阻 $R$ 的單位若以 $SI$ 基本單位表示，可表示為 $kgm^2s^{-3}A^{-2}$。因此，$\frac{L}{R}$ 的單位為

$(kgm^2s^{-2}A^{-2})(kg^{-1}m^{-2}s^3A^2)=s$

所以，$RL$ 串聯電路的時間常數 $\tau$ 單位為秒 $(s)$ 。

$RL$ 串聯電路的時間常數單位以其它 $SI$ 單位導出

因為

$W=\frac{1}{2}LI^2=I^2Rt$

且

$R=\frac{V}{I}$

電阻 $R$ 的單位可表示成 $VA^{-1}$。所以，電感 $L$ 的單位可以為 $VA^{-1}s$。

亦即，時間常數 $\frac{L}{R}$ 的單位可以表示成

$(VA^{-1}s)(V^{-1}A)=s$

所以，$RL$ 串聯電路的時間常數 $\tau$ 的單位為秒 $(s)$。