RC 與 RL 電路的時間常數單位導出

 

Calculation of  the Time Constant in RC and RL Circuits

以下以 RC 與 RL 串聯電路為例，將分別以 SI (International System of Units) 國際單位以及其它單位導出 RC 與 RL 電路的時間常數單位：

$RC$ 串聯電路的時間常數以 $SI$ 基本單位導出

如上圖所示的 $RC$ 串聯電路，設電容 $C$ 的電壓為 $v_C(t)$，且 $t = 0$ 時， $v_c(0) = 0$，則

$$v_c(t) = V_B(1-e^\frac{-t}{\tau})$$

其中的 $\tau = RC$，稱為該電路的時間常數 (Time Constant)。 接下來，我們將說明如何以 $SI$ 基本單位來導出此時間常數的單位。

因為能或功的表示式為

$$W=I^2Rt=FS\;cos\;\theta=maS\;cos\;\theta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(\;\theta \;為力向量\; \vec F \;與位移向量\;\vec S \; 的夾角)$$      

可知

$$R=\frac {maS\;cos\;\theta}{I^2t}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

意即電阻 $R$ 的單位若以 $SI$ 基本單位表示，由式子 (1) 知可表示為 $kg\;m^2s^{-3}A^{-2}$。

而已知電容    

$$C=\frac {Q}{V}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$

意即電容 $C$ 的單位可由電量 $Q$ 與 電壓 $V$ 來決定。其中電量的部分，因為 $Q=It$，所以 $Q$ 的單位若以 $SI$ 基本單位表示，可表示為 $As$。而電壓的部分，因為

$$W=IVt= FS\;cos\;\theta=maS\;cos\;\theta$$

可知

$$V=\frac{maS\;cos\;\theta}{It}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$

所以電壓 $V$ 的單位若以 $SI$ 基本單位表示，由式子 (3) 知也可表示為 $kg\;m^2s^{-3}A^{-1}$。

綜合上述，可知電容 $C$ 的單位若以 $SI$ 基本單位表示，已知 $Q$ 的單位為 $As$，且 $V$ 的單位為 $kg\;m^2s^{-3}A^{-1}$，由式子 (2) 知為

$$(As)(kg^{-1}m^{-2}s^3A)=kg^{-1}m^{-2}s^4A^2$$

最後，$RC$ 的單位可為

$(kg\;m^2s^{-3}A^{-2})(kg^{-1}m^{-2}s^4A^2)=s$

亦即，$RC$ 電路的時間常數 $\tau$ 單位為 $s$ (秒)。     

$RC$ 串聯電路的時間常數單位以其它 $SI$ 單位導出

因為 $R=\frac{V}{I}$，$R$ 的單位也可以以 $VA^{-1}$ 表示。又 $C=\frac{Q}{V}$，且 $Q=It$，$C$ 的單位也可以以 $AsV^{-1}$ 表示。所以

$$\;\tau \;的單位 = (VA^{-1})(AsV^{-1})=s$$

$RL$ 串聯電路的時間常數以 $SI$ 基本單位導出

如上圖所示的 $RL$ 串聯電路，設 $t = 0$ 時， $i(0) = 0$，則

$$i(t)=\left (\frac {V_B}{R}\right )\left [1-e^{\frac{-t}{\tau}}\right ]$$

其中的 $\tau = \frac{L}{R}$，稱為該電路的時間常數。接下來，我們來以 $SI$ 基本單位來導出此時間常數的單位。

因為

$$W=\frac{1}{2}LI^2=FS\;cos\;\theta=maS\;cos\;\theta$$

可知

$$L=\frac{2maS\;cos\;\theta}{I^2}$$

所以，電感 $L$ 的單位，若以 $SI$ 基本單位表示，可表示為 $kg\;m^2s^{-2}A^{-2}$。

又如前所述，電阻 $R$ 的單位若以 $SI$ 基本單位表示，可表示為 $kg\;m^2s^{-3}A^{-2}$。因此，$\frac{L}{R}$ 的單位為

$$(kg\;m^2s^{-2}A^{-2})(kg^{-1}m^{-2}s^3A^2)=s$$

所以，$RL$ 串聯電路的時間常數 $\tau$ 單位為 $s$ (秒) 。

$RL$ 串聯電路的時間常數單位以其它 $SI$ 單位導出

因為

$$W=\frac{1}{2}LI^2=I^2Rt$$

即

$$L=2Rt\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$

又

$$R=\frac{V}{I}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$

則由式子 (5) 可知，電阻 $R$ 的單位可表示成 $VA^{-1}$。所以，由式子 (4) 即可知電感 $L$ 的單位可以為 $VA^{-1}s$。

亦即，時間常數 $\frac{L}{R}$ 的單位可以表示成

$$(VA^{-1}s)(V^{-1}A)=s$$

所以，$RL$ 串聯電路的時間常數 $\tau$ 的單位為 $s$ (秒)。