最大功率轉移定理證明

 

線性直流網路的最大功率轉移定理

線性直流網路的最大功率轉移定理 (Maximum Power Transfer Theorem) ：

『一負載能自一電動勢 $E_{TH}$ 的雙埠線性直流網路得到最大功率，發生在當其電阻值 $R_L$ 剛好等於該雙埠線性直流網路從負載端看進去的戴維寧等效電阻 $R_{TH}$ 時，而其最大功率值為 $\frac {E_{TH}^2}{4R_{TH}}$。』

證明

如下圖所示的網路，為一雙端線性直流網路的戴維寧等效電路與負載端的電路，$0< R_L <  \infty$，

可知

$$I=\frac {E_{TH}}{R_{TH}+R_{L}}$$

所以

$$P_L=I^2R_L=\frac {E_{TH}^2R_L}{(R_{TH}+R_L)^2}$$

又

$$\frac {dP_L}{dR_L}=\frac {E_{TH}^2(R_{TH}+R_L)^2-E_{TH}^2[2(R_{TH}+R_L)]}{(R_{TH}+R_L)^2}$$

$$=\frac {E_{TH}^2(R_{TH}+R_L)(R_{TH}-R_L)}{(R_{TH}+R_L)^2}\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=\frac {E_{TH}^2(R_{TH}-R_L)}{(R_{TH}+R_L)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

令 $\frac {dP_L}{dR_L} = 0$，因為 $E_{TH}^2 \neq 0$，且 $(R_{TH}+R_L)\neq 0$，所以 $R_{TH}-R_L = 0$，即

$$R_L=R_{TH}$$

為 $P_L(R_L)$ 函數在區間 $(0, \infty )$ 的唯一臨界值 (Critical Number)。

又

$$\frac {dP_L^2}{dR_L^2}=-E_{TH}^2 < 0 $$

所以，$P_L(R_L)$ 函數曲線圖為開口向下 (Concave Down) 的曲線。然而，對所有的 $R_L$ 而言， $P_L(R_L)$ 恆大於 0。此外，$R_L\to 0$ 時，$P_L\to 0$，且 $R_L\to \infty$ 時，$P_L\to 0$，因此

$$P_{L(max)}(R_L) = P_L(R_{TH})=\frac {E_{TH}^2}{4R_{TH}}$$

得證。

而 $P_L$ 與 $R_L$ 關係曲線圖則如下所示：

正弦穩態網路的最大功率轉移定理

正弦穩態網路 (Networks in the Sinusoidal Steady State) 的最大功率轉移定理：

『一負載能從一正弦 $V_{TH}$ 穩態網路得到最大功率，發生在當其阻抗 $Z_L$ 剛好等於該雙埠正弦穩態網路從負載端看進去的戴維寧等效阻抗 $Z_{TH}$ 的共軛 $Z_{TH}^{*}$。而其最大功率值為 $\frac {|V_{TH}|^2}{4R_{TH}}$。 』

證明

如上圖所示的網路，為一雙端正弦穩態網路的戴維寧等效電路與負載端的電路。若 $Z_{TH}=R_{TH}+jX_{TH}$   且  $Z_L=R_L+jX_L$，則負載 $Z_L$ 消耗的平均功率

$$P_L=|I_L|^2R_L\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

其中的 $|I_L|$ 為 $I_L$ 的大小，即流經 $Z_L$ 的有效值電流。

又

$$I_L=\frac {V_{TH}}{(R_{TH}+jX_{TH})+(R_L+jX_L)}$$

即

$$I_L=\frac {V_{TH}}{(R_{TH}+R_L)+j(X_{TH}+X_L)}$$

$I_L$ 的有效值大小 $|I_L|$ 可寫成如下所示

$$|I_L|=\frac {|V_{TH}|}{\sqrt {(R_{TH}+R_L)^2+(X_{TH}+X_L)^2}}$$

將上式代入式子 (1)，可得

$$P_L=\frac {|V_{TH}|^2R_L}{(R_{TH}+R_L)^2+(X_{TH}+X_L)^2}$$    

若 $R_L$ 與 $X_L$ 為互為獨立變數，且 $\frac {\partial P_L}{\partial R_L}$ 或 $\frac {\partial P_L}{\partial x_L}$ 在所有點皆存在，令 $\frac {\partial P_L}{\partial R_L}= 0$ 且 $\frac {\partial P_L}{\partial X_L}=0$ 就可得到 $P_L(R_L, X_L)$ 函數的臨界點。

$$\frac{\partial P_L}{\partial R_L}=\frac {|V_{TH}|^2 \left [(R_{TH}+R_{L})^2+(X_{TH}+X_L)^2 \right ]-|V_{TH}|^2R_L\left [2(R_{TH}+R_L) \right ]}{\left [(R_{TH}+R_L)^2+(X_{TH}+X_L)^2 \right ]^2}$$

$$=\frac{|V_{TH}|^2 \left [(R_{TH}+R_L)^2+(X_{TH}+X_L)^2-2R_LR_{TH}-2R_L^2 \right ]}{\left [(R_{TH}+R_L)^2+(X_{TH}+X_L)^2 \right ]^2}\;\;\;\;$$

$$=\frac {|V_{TH}|^2 \left [R_{TH}^2-R_L^2+(X_{TH}+X_L)^2 \right ]}{\left [(R_{TH}+R_L)^2+(X_{TH}+X_L)^2 \right ]^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$                          

令 $\frac {\partial P_L}{\partial R_L}= 0$，可知

$$\left [R_{TH}^2-R_L^2+(X_{TH}+X_L)^2 \right ] = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$  

又

$$\frac {\partial P_L}{\partial X_L}=\frac {-|V_{TH}|^2R_L[2(X_{TH}+X_L)]}{[(R_{TH}+R_L)^2+(X_{TH} + X_L)^2]^2}$$      

令 $\frac {\partial P_L}{\partial X_L} = 0$，可得

$$X_{TH}+X_L= 0$$

即

$$X_L=-X_{TH}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$

將式子 (3) 代入 式子(2)，可得

$$R_L=R_{TH}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$

再將該臨界點代入 $P_L(R_L, X_L)$ 中，可得

$$P_L(R_L, X_L) = P_L(R_{TH}, -X_{TH}) = \frac {|V_{TH}|^2}{4R_{TH}}$$

又 $P_L \ge 0$，所以當 

$$Z_L = R_{TH} - jX_{TH} = Z_{TH}^{*}$$ 

$P_L$ 為最大值，亦即

$$P_{L(max)} =  \frac {|V_{TH}|^2}{4R_{TH}}$$

得證。