最大功率轉移定理證明

 

線性直流網路的最大功率轉移定理

線性直流網路的最大功率轉移定理 (Maximum Power Transfer Theorem) ：

『一負載能自一雙埠線性直流網路得到最大功率，發生在當其電阻值剛好等於該雙埠線性直流網路從負載端看進去的戴維寧等效電阻時。』

證明

如下圖所示的網路，為一雙端線性直流網路的戴維寧等效電路與負載端的電路，$0< R_L <  \infty$，

可知

$I=\frac {E_{TH}}{R_{TH}+R_{L}}$

所以

$P_L=I^2R_L=\frac {E_{TH}^2R_L}{(R_{TH}+R_L)^2}$

又

$\frac {dP_L}{dR_L}=\frac {E_{TH}^2(R_{TH}+R_L)^2-E_{TH}^2[2(R_{TH}+R_L)]}{(R_{TH}+R_L)^2}$

$=\frac {E_{TH}^2(R_{TH}+R_L)(R_{TH}-R_L)}{(R_{TH}+R_L)^2}$    

$=\frac {E_{TH}^2(R_{TH}-R_L)}{(R_{TH}+R_L)}$                  

令 $\frac {dP_L}{dR_L} = 0$，因為$E_{TH}^2 \neq 0$，且 $(R_{TH}+R_L)\neq 0$，所以 $R_{TH}-R_L = 0$，即

$R_L=R_{TH}$

為 $P_L(R_L)$ 函數在區間 $(0, \infty )$ 的唯一臨界值 (Critical Number)。

又

$\frac {dP_L^2}{dR_L}=-E_{TH}^2 < 0 $

所以，$P_L(R_L)$ 函數曲線圖為開口向下 (Concave Down) 的曲線。又對所有的 $R_L$ 而言， $P_L(R_L)$ 恆大於 0。此外，$R_L\to 0$ 時，$P_L\to 0$，且 $R_L\to \infty$ 時，$P_L\to 0$，因此

$P_{L(max)}(R_L) = P_L(R_{TH})=\frac {E_{TH}^2}{4R_{TH}}$  得證。

$P_L$ 與 $R_L$ 關係曲線圖如下所示：

正弦穩態網路的最大功率轉移定理

正弦穩態網路 (Networks in the Sinusoidal Steady State) 的最大功率轉移定理：

『一負載能從一正弦穩態網路得到最大功率，發生在當其阻抗剛好等於該雙埠正弦穩態網路從負載端看進去的戴維寧等效阻抗的共軛。』

證明

如上圖所示的網路，為一雙端正弦穩態網路的戴維寧等效電路與負載端的電路。若

$Z_{TH}=R_{TH}+jX_{TH}$   且  $Z_L=R_L+jX_L$

則負載 $Z_L$ 消耗的平均功率

$P_L=|I_L|^2R_L$            $(1)$

          

其中的 $|I_L|$ 為 $I_L$ 的大小，即流經 $Z_L$ 的有效值電流。

又

$I_L=\frac {V_{TH}}{(R_{TH}+jX_{TH})+(R_L+jX_L)}$

即

$I_L=\frac {V_{TH}}{(R_{TH}+R_L)+j(X_{TH}+X_L)}$

$I_L$ 的有效值大小 $|I_L|$ 可寫成如下所示

$|I_L|=\frac {|V_{TH}|}{\sqrt {(R_{TH}+R_L)^2+(X_{TH}+X_L)^2}}$  代入 $(1)$ 式，可得

$P_L=\frac {|V_{TH}|^2R_L}{(R_{TH}+R_L)^2+(X_{TH}+X_L)^2}$     

若 $R_L$ 與 $X_L$ 為互為獨立變數，且 $\frac {\partial P_L}{\partial R_L}$ 或 $\frac {\partial P_L}{\partial x_L}$ 在所有點皆存在，令 $\frac {\partial P_L}{\partial R_L}= 0$  且

 $\frac {\partial P_L}{\partial X_L}=0$ 就可得到 $P_L(R_L, X_L)$ 函數的臨界點。

$\frac{\partial P_L}{\partial R_L}=\frac {|V_{TH}|^2[(R_{TH}+R_{L})^2+(X_{TH}+X_L)^2]-|V_{TH}|^2R_L[2(R_{TH}+R_L)]}{[(R_{TH}+R_L)^2+(X_{TH}+X_L)^2]^2}$

$=\frac{|V_{TH}|^2[(R_{TH}+R_L)^2+(X_{TH}+X_L)^2-2R_LR_{TH}-2R_L^2]}{[(R_{TH}+R_L)^2+(X_{TH}+X_L)^2]^2}$  

 $=\frac {|V_{TH}|^2[R_{TH}^2-R_L^2+(X_{TH}+X_L)^2]}{[(R_{TH}+R_L)^2+(X_{TH}+X_L)^2]^2}$                           

                     

令 $\frac {\partial P_L}{\partial R_L}= 0$，可得

$[R_{TH}^2-R_L^2+(X_{TH}+X_L)^2] = 0$            $(2)$  

又

$\frac {\partial P_L}{\partial X_L}=\frac {-|V_{TH}|^2R_L[2(X_{TH}+X_L)]}{[(R_{TH}+R_L)^2+(X_{TH} + X_L)^2]^2}$      

令 $\frac {\partial P_L}{\partial X_L} = 0$，可得

$X_{TH}+X_L= 0$

即

$X_L=-X_{TH}$            $(3)$

將 $(3)$ 式代入 $(2)$ 式，可得

$R_L=R_{TH}$            $(4)$

再將該臨界點代入 $P_L(R_L, X_L)$ 中，可得

$P_L(R_L, X_L) = P_L(R_{TH}, -X_{TH}) = \frac {|V_{TH}|^2}{4R_{TH}}$

又 $P_L \ge 0$，所以當 

$Z_L = R_{TH} - jX_{TH} = Z_{TH}^{*}$ 

$P_L$ 為最大值，亦即

$P_{L(max)} =  \frac {|V_{TH}|^2}{4R_{TH}}$     得證。