數字系統的轉換方法與原理

作者： Danny Yang
Methods and Principles of Number System Conversion


本文旨在探討不同進制數字系統間的轉換方法與原理。首先，我們先來看十進制數字包含整數與小數轉換為其它進制數字的方法與原理。接著探討 $2^k$ 進制系統與 $2$ 進制系統，以及 $2^k$ 進制系統與 $2^i$ 進制系統的互換方法與原理。最後再來了解其餘的數字系統之間是如何轉換。


數字表示法


十進制數字可以表示為 $10$ 的次方多項式，例如
$$987.65 = 9×10^2+8×10^1+7×10^0+6×10^{-1}+5×10^{-2}$$
其中的 $10$ 被稱為該數字系統的基底。

而任何基底為 $x$ 的數字 ($x$ 為大於 $1$ 的整數)，若其對應的十進制正整數為 $d$，且 $d<x^n$，$n$ 為一正整數，則  $d$ 可表示為如下所示的 $x$ 次方多項式：
$$d = \sum_{i = -m}^{n-1} a_i\;x^i= a_{n-1}\;x^{n-1}+a_{n-2}\;x^{n-2}+...+a_1\;x^1+a_0\;x^0+a_{-1}\;x^{-1}+...+a_{-m}\;x^{-m}$$

其中的 $a_i$ 為整數，且 $0 \le a_i \le x-1$ 。

此外，在符號的表示上，基底為 $x$ 的數字 $N$ ，常可表示為 $(N)_x$。

例如：$(1001.01)_2 = (?)_{10}$
  
解：

因為基底 $x = 2$，$n = 4$，所以
$$(1001.01)_2 = 1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0+0×2^{-1}+1×2^{-2} = (9.25)_{10}$$


十進制整數轉換為其它進制數字


若有一個十進制正整數 $d$ ，欲轉換成 $x$ 進制數字，即
$$(d)_{10} = (a_{n-1}\; a_{n-2}\; a_{n-3}\; ... \;a_2\; a_1\; a_0)_x $$ 
其中 $d<x^n$，$n$ 為一正整數，且 $a_{n-1}$、$a_{n-2}$、$...$、$a_1$ 以及 $ a_0$ 均為小於 $x$ 的整數，則 $d$ 可表示為
$$ d = a_{n-1}\;x^{n-1}+a_{n-2}\;x^{n-2}+a_{n-3}\;x^{n-3}+...+a_3\;x^3+a_2\;x^2+a_1\;x^1+a_0\;x^0$$
將上式右邊除以 $x$ ，則可得商式如下：
$$a_{n-1}\;x^{n-2}+a_{n-2}\;x^{n-3}+a_{n-3}\;x^{n-4}+...+a_3\;x^2+a_2\;x^1+a_1\;x^0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(\;餘數\;a_0\;)$$
再將上面的商式繼續除以 $x$ ，可得另一商式：
$$a_{n-1}\;x^{n-3}+a_{n-2}\;x^{n-4}+a_{n-3}\;x^{n-5}+...+a_3\;x^1+a_2\;x^0+a_1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(\;餘數\;a_1\;)$$
.
.
.

繼續將商式連除以 $x$，持續 $n$ 次後最後可得商式 $0$，餘數 $a_{n-1}$。

因此，將 $d$  連除以 $x$ 直至商式為 $0$，每次所得的餘數即分別為 $a_0$、$a_1$、$...$、$a_{n-2}$ 以及 $a_{n-1}$。


例如：$(35)_{10}=(?)_2$
      
解：
  
$d = 35$，且 $x = 2$，如下算式所示 $(35)_{10} = (10011)_2$




十進制小數轉換為其它進制數字


若有一個十進制正小數 $f$，欲轉換成 $x$ 進制數字，即
$$(f)_{10} = (.b_{-1}\;b_{-2}\;b_{-3}\;...)_x$$
其中 $f < 1$，且 $b_{-1}$、$b_{-2}$、$b_{-3}$ ... 均為小於 $x$ 的整數，則 $f$ 可表示為
$$f = b_{-1}\;x^{-1}+b_{-2}\;x^{-2}+b_{-3}\;x^{-3}+\;...$$
將上式右邊乘以 $x$，可得如下的乘積式 
$$b_{-1}+b_{-2}\;x^{-1}+b_{-3}\;x^{-2}+\;...$$
其中整數部分為 $b_{-1}$。

再將上面的乘積式，去除整數部分 ( 即 $b_{-1}$) 後，繼續乘以 $x$ ，可得另一商式 $b_{-2}+b_{-3}\;x^{-1}+\;...$，整數部分則為 $b_{-2}$。

.
.
.

$x$ 連乘去除整數部分後的乘積式 $n$ 次，直至乘積式為 $0$ ，每次所得商式的整數部分即分別為 $b_{-1}$、$b_{-2}$、$b_{-3}\;...\;b_{-n}$。但若 $x$ 連乘去除整數部分後的乘積式，一直都無法得到 $0$，則轉換出來的 $x$ 進制小數可能為無限小數。此時，選擇符合準確度需求的適當小數位數即可停止。


例如：$(0.25)_{10} = (?)_2$

解：

$f = 0.25$ 且 $x=2$，如下算式所示：$(0.25)_{10} = (0.01)_2 $


例如：$(0.73)_{10} = (0.1011101...)_2$


$2^k$ 進制與 $2$ 進制之間的轉換


若有一 $2^k$ 進制數字，$k$ 為大於 $1$ 的正整數，其對應的十進制值為 $h$，欲轉換成 $2$ 進制數字，且 $h < (2^k)^n$，則 $h$ 可表示成
$$h = (a_{n-1}\;a_{n-2}\;...\;a_1\;a_0\;.\;a_{-1}\;a_{-2}\;...\;a_{-m})_{2^k}$$ 
其中的 $a_{n-1}$、$a_{n-2}$、$...$、$a_1$、$a_0$、$a_{-1}$、$a_{-2}$、$...a_{-m}$ 均為正整數，則
$$h = a_{n-1}(2^k)^{n-1}+a_{n-2}(2^k)^{n-2}+a_{n-3}(2^k)^{n-3}+...+a_1(2^k)^1+a_0(2^k)^0$$
$$\;+\;a_{-1}(2^k)^{-1}+a_{-2}(2^k)^{-2}+\;...\;+a_{-m}(2^k)^{-m}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)\;\;\;\;\;$$
假設其中的
$$(a_{n-1})_{2^k} = (b_{k-1}\;b_{k-2}\;...\;b_1\;b_0)_2$$
$$(a_{n-2})_{2^k} = (b_{k-1}^{'}\;b_{k-2}^{'}\;...\;b_1^{'}\;b_0^{'})_2$$
$$(a_{n-3})_{2^k} = (b_{k-1}^{"}\;b_{k-2}^{"}\;...\;b_1^{"}\;b_0^{"})_2$$
.
.
.
$$(a_1)_{2^k} = (b_{k-1}^{<n-2>}\;b_{k-2}^{<n-2>}\;...\;b_1^{<n-2>}\;b_0^{<n-2>})_2$$
$$(a_0)_{2^k} = (b_{k-1}^{<n-1>}\;b_{k-2}^{<n-1>}\;...\;b_1^{<n-1>}\;b_0^{<n-1>})_2$$
$$(a_{-1})_{2^k} = (b_{k-1}^{<n>}\;b_{k-2}^{<n>}\;...\;b_1^{<n>}\;b_0^{<n>})_2$$
$$(a_{-2})_{2^k} = (b_{k-1}^{<n+1>}\;b_{k-2}^{<n+1>}\;...\;b_1^{<n+1>}\;b_0^{<n+1>})_2$$
.
.
.
$$(a_{-m})_{2^k} = (b_{k-1}^{<n+m-1>}\;b_{k-2}^{<n+m-1>}\;...\;b_1^{<n+m-1>}\;b_0^{<n+m-1>})_2$$
所以，
$$a_{n-1} = b_{k-1}(2^{k-1})+b_{k-2}(2^{k-2})+...+b_1(2^1)+b_0(2^0)$$
$$a_{n-2} = b_{k-1}^{'}(2^{k-1})+b_{k-2}^{'}(2^{k-2})+...+b_1^{'}(2^1)+b_0^{'}(2^0)$$
.
.
.
$$a_1 = b_{k-1}^{<n-2>}(2^{k-1})+b_{k-2}^{<n-2>}(2^{k-2})+...+b_1^{<n-2>}(2^1)+b_0^{<n-2>}(2^0)$$
$$a_0 = b_{k-1}^{<n-1>}(2^{k-1})+b_{k-2}^{<n-1>}(2^{k-2})+...+b_1^{<n-1>}(2^1)+b_0^{<n-1>}(2^0)$$
$$a_{-1} = b_{k-1}^{<n>}(2^{k-1})+b_{k-2}^{<n>}(2^{k-2})+...+b_1^{<n>}(2^1)+b_0^{<n>}(2^0)$$
$$a_{-2} = b_{k-1}^{<n+1>}(2^{k-1})+b_{k-2}^{<n+1>}(2^{k-2})+...+b_1^{<n+1>}(2^1)+b_0^{<n+1>}(2^0)$$
.
.
.
$$a_{-m} = b_{k-1}^{<n+m-1>}(2^{k-1})+b_{k-2}^{<n+m-1>}(2^{k-2})+...+b_1^{<n+m-1>}(2^1)+b_0^{<n+m-1>}(2^0)$$

將上面的 $a_{n-1}$、$a_{n-2}$、$...$、$a_1$、$a_0$、$a_{-1}$、$a_{-2}$、$...$、$a_{-m}$ 代入 $(1)$，可得
$$h =\left [b_{k-1}(2^{k-1})+b_{k-2}(2^{k-2})+...+b_1(2^1)+b_0(2^0) \right ]2^{k(n-1)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$+\left [b_{k-1}^{'}(2^{k-1})+b_{k-2}^{'}(2^{k-2})+...+b_1^{'}(2^1)+b_0^{'}(2^0)\right ]2^{k(n-2)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$+\left [b_{k-1}^{"}(2^{k-1})+b_{k-2}^{"}(2^{k-2})+...+b_1^{"}(2^1)+b_0^{"}(2^0)\right ]2^{k(n-3)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
.
.
.
$$\;+\left [b_{k-1}^{<n-2>}(2^{k-1})+b_{k-2}^{<n-2>}(2^{k-2})+...+b_1^{<n-2>}(2^1)+b_0^{<n-2>}(2^0)\right ]2^{k(1)}$$
$$\;+\left [b_{k-1}^{<n-1>}(2^{k-1})+b_{k-2}^{<n-1>}(2^{k-2})+...+b_1^{<n-1>}(2^1)+b_0^{<n-1>}(2^0)\right ]2^{k(0)}$$
$$+\left [b_{k-1}^{<n>}(2^{k-1})+b_{k-2}^{<n>}(2^{k-2})+...+b_1^{<n>}(2^1)+b_0^{<n>}(2^0)\right ]2^{k(-1)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;+\left [b_{k-1}^{<n+1>}(2^{k-1})+b_{k-2}^{<n+1>}(2^{k-2})+...+b_1^{<n+1>}(2^1)+b_0^{<n+1>}(2^0)\right ]2^{k(-2)}+$$
.
.
.
         
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\left [b_{k-1}^{<n+m-1>}(2^{k-1})+b_{k-2}^{<n+m-1>}(2^{k-2})+...+b_1^{<n+m-1>}(2^1)+b_0^{<n+m-1>}(2^0)\right ]2^{k(-m)}$$
因此，
$$h = b_{k-1}(2^{kn-1})+b_{k-2}(2^{kn-2})+...+b_1(2^{kn-(k-1)})+b_0(2^{kn-k})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$+b_{k-1}^{'}(2^{kn-k-1})+b_{k-2}^{'}(2^{kn-k-2})+...+b_1^{'}(2^{kn-k-(k-1)})+b_0^{'}(2^{kn-k-k})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;+b_{k-1}^{"}(2^{kn-k-(k+1)})+b_{k-2}^{"}(2^{kn-k-(k+2)})+...+b_1^{"}(2^{kn-k-(2k-1)})+b_0^{"}(2^{kn-k-2k})$$
.
.
.
$$+b_{k-1}^{<n-2>}(2^{2k-1})+b_{k-2}^{<n-2>}(2^{2k-2})+...+b_1^{<n-2>}(2^{2k-(k-1)})+b_0^{<n-2>}(2^{2k-k})$$
$$+b_{k-1}^{<n-1>}(2^{k-1})+b_{k-2}^{<n-1>}(2^{k-2})+...+b_1^{<n-1>}(2^1)+b_0^{<n-1>}(2^0)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$+b_{k-1}^{<n>}(2^{-1})+b_{k-2}^{<n>}(2^{-2})+...+b_1^{<n>}(2^{-(k-1)})+b_0^{<n>}(2^{-k})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;+b_{k-1}^{<n+1>}(2^{-k-1})+b_{k-2}^{<n+1>}(2^{-k-2})+...+b_1^{<n+1>}(2^{-k-(k-1)})+b_0^{<n+1>}(2^{-k-k})+$$
.
.
.
$$+b_{k-1}^{<n+m-1>}(2^{-k(m-1)-1})+b_{k-2}^{<n+m-1>}(2^{-k(m-1)-2})+\; ... \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$+b_1^{<n+m-1>}(2^{-k(m-1)-(k-1)})+b_0^{<n+m-1>}(2^{-k(m-1)-k})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
亦即
$$(a_{n-1}\;a_{n-2}\;...\;a_1\;a_0\;.\;a_{-1}\;a_{-2}\;..\;a_{-m})_{2^k} = (b_{k-1}\;b_{k-2}\;...\;b_1\;b_0\;b_{k-1}^{'}\;b_{k-2}^{'}\;...\;b_1^{'}\;b_0^{'}\;...\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b_{k-1}^{<n-2>}b_{k-2}^{<n-2>}...b_1^{<n-2>}b_0^{<n-2>}b_{k-1}^{<n-1>}b_{k-2}^{<n-1>}\;...$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b_1^{<n-1>}b_0^{<n-1>}.b_{k-1}^{<n>}b_{k-2}^{<n>}\;...$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b_1^{<n>}b_0^{<n>}b_{k-1}^{<n+1>}b_{k-2}^{<n+1>}...$$
$$b_1^{<n+1>}b_0^{<n+1>}\;...$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b_{k-1}^{<n+m-1>}b_{k-2}^{<n+m-1>}...b_1^{<n+m-1>}b_0^{<n+m-1>})_2$$



例如：$(A4F.5B)_{16} = (?)_2$

解：

因為 $k = 4$，$n = 3$，且
$$(a_2\;a_1\;a_0\;.a_{-1}\;a_{-2})_{2^k} = (b_3\;b_2\;b_1\;b_0\;b_3^{'}\;b_2^{'}\;b_1^{'}\;b_0^{'}\;b_3^{"}\;b_2^{"}\;b_1^{"}\;b_0^{"}.b_3^{<3>}b_2^{<3>}b_1^{<3>}b_0^{<3>}b_3^{<4>}b_2^{<4>}b_1^{<4>}b_0^{<4>})_2$$
又
$$(a_2)_{16} = (b_3\;b_2\;b_1\;b_0)_2\; \implies\; (A)_{16} = (1010)_2$$
$$(a_1)_{16} = (b_3^{'}\;b_2^{'}\;b_1^{'}\;b_0^{'})_2\; \implies\;(4)_{16} = (0100)_2$$
$$(a_0)_{16} = (b_3^{"}\;b_2^{"}\;b_1^{"}\;b_0^{"})_2\; \implies\; (F)_{16} = (1111)_2$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(a_{-1})_{16} = (b_3^{<3>}\;b_2^{<3>}\;b_1^{<3>}\;b_0^{<3>})_2\; \implies\; (5)_{16} = (0101)_2$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(a_{-2})_{16} = (b_3^{<4>}\;b_2^{<4>}\;b_1^{<4>}\;b_0^{<4>})_2 \; \implies\;(B)_{16} = (1011)_2$$
所以
$$(A4F.5B)_{16} = (1010 0100 1111.0101 1011)_2$$


例如： $(111100111110.0010101)_2 = (?)_{16}$



所以， $(1111 0011 1110.0010 1010)_2 = (F3E.2A)_{16}$。


$2^k$ 進制與$2^i$進制間轉換

若 $k \neq i \neq 1$，利用上述 $2^k$ 進制轉換成 $2$ 進制方法進行 $2$ 進制轉換，再利用上述  2 進制轉換成 $2^i$ 進制方法將 $2$ 進制轉換成 $2^i$ 進制即可。

例如：$(BC2)_{16} = (?)_8$

             $k = 4$，$i = 3$，
    

所以，$(BC2)_{16} = (5702)_8$


其它進制間轉換

其它進制之間的轉換，先將要被轉換的進制轉成十進制，再由利用上述的十進制轉成欲轉換的進制的方法，即可完成轉換。

例如：$(34)_5 = (?)_3$

解：
$$(34)_5 = 3×5^1+4×5^0 = (19)_{10} = (201)_3$$




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作者： Danny Yang
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科學記號 (Scientific Notation) 常被用來簡潔地表示極大或極小的數值以方便分析，其表示法為  $$a \times 10^n \;\;\; (1 \le |\;a\;|<10，n \;為整數 )$$ 例如一個大於 $1$ 的數： $673,000$，若以科學記號來表示，可寫成 $6.73 \times 10^5$，將其取對數，可得 $5+\log\;6.73$，其中 $5$ 為對數值整數的部分，$\log\;6.73$ 為對數值小數的部分。我們可以觀察到 $673,000$ 為 6 位數，剛好是其科學記號表示法中的指數 $5$ 加 $1$ 或是其對數值整數部分 (即 $5$) 加 $1$ 的結果；又一個小於 $1$ 的數：$0.00673$ 的科學記號為 $6.73 \times 10^{-3}$，對數值為 $-3+\log\;6.73$，我們也可以觀察到該數在小數點第 $3$ 位開始數字不為 $0$，剛好是其科學記號表示法中的指數 $-3$ 的絕對值或是其對數值整數部分的絕對值。 因此，若有一正數 $x$ 其科學記號為 $a \times 10^n\;(a\;為正數，\;n\;為整數\;)$，則 $$x=a \times 10^n$$ 上式兩邊取對數，可得 $$log\;x = log\;(a \times 10^n)=log\;a+log\;10^n=n+log\;a$$ 已知 $1\le a <10$，所以 $0 \le \log\;a <1$。上式中的 $n$ 為對數值的整數部分稱為 $\log\;x$ 的 首數  (Characteristic)，而 $\log\;a$ 為對數值小數的部分則稱之為 尾數  (Manttissa)。若 $n$ 為正整數，則 $x$ 的位數為 $n+1$；若 $n$ 為負整數，則 $x$ 在小數點以下第 $|\;n\;|$ 位開始數字不為 $0$。 從另一角度來看，令上式中的 $\log\;a=m$，則  $\log \;x=n+m$，其中的 $m$ 為尾數。 可知 $$x=10^{n+m}$$ 且 $$0 \le m \lt 1$$ 所以 $$n \le n+m \lt n+1$$ $$10^{n} \le 10^{n+m} \lt 10^{n+1...
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MOSFET 共汲極放大電路 (源極隨耦器) 小訊號分析

作者： Danny Yang
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MOSF ET Common Drain Amplifier  (Source Follower): Small Signal Analysis    如圖一所示，為一 MOSFET 共汲極放大電路  (Common Drain Amplifier) ，此電路又被稱為 源極隨耦器 (Source Follower)。其特點是輸入阻抗大，輸出阻抗小，且電壓增益小於 1 但接近於 1 ，故在多級放大器中，常被作為 電壓緩衝級 用來驅動較小的負載輸出。 圖一     MOSFET 共汲極放大電路 MOSFET 共汲極放大電路的小訊號等效電路如圖二所示，其交流特性說明如下： 圖二      MOSFET 共汲極放大電路的 小訊號等效電路 電壓增益 (Voltage Gain) $A_v$ 由圖二可知： $$v_i=v_{gs}+v_o\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 且 $$v_o=g_{m}v_{gs}\left ( R_s // r_o \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 由式子 (2) 可知：  $$v_{gs}=\frac{v_o}{g_m(R_s // r_o)}$$ 代入式子 (1)，可得 $$v_i=v_o\left [1+\frac{1}{g_m(R_S//r_o)}\right ]$$ 所以，電壓增益為 $$A_v=\frac{v_o}{v_i}=\frac{1}{1+\frac{1}{g_m(R_s // r_o)}}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{1+\frac{1}{g_m(\frac{R_s r_o}{R_s+r_o})}}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{1+\frac{R_s+r_o}{g_m R_s r_o}}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{g_mR_sr_o}{g_mR_sr_o+R_s+r_o}$$ 若 $r_o \gt\gt R_s$，將上式分子分母同...
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為什麼理想的 OPA 電壓放大器有虛短路與虛斷路現象 | OPA 電壓放大器增益推導

作者： Danny Yang
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Reasons Behind Virtual Short and Virtual Open Circuits In Ideal Operational Amplifiers 採負回授的運算放大器 (Operational Amplifier，簡稱 OPA 或 OP-Amp) 可作為電壓訊號放大之用。而欲被放大的電壓輸入信號若輸入於 OPA 的負輸入端 ($v_-$) ，所形成的電壓放大器被稱為 反相 OPA 電壓放大器 (Inverting Operational Amplifier)；反之，若電壓輸入信號輸入於 OPA 的正輸入端  ($v_+$)，則被稱為 非反相 OPA 電壓放大器 (Non-inverting Operational Amplifier)。無論是反相 OPA 電壓放大器或是非反相 OPA 電壓放大器，其 OPA 的正負輸入端，在負回授方式連接的情況下皆存在有 虛短路 (Virtual Short) 與 虛斷路 (Virtual Open) 現象。 所謂虛短路指的是理想的 OPA 放大器在負回授的情況下，OPA 的正輸入端與負輸入端的電位差極小，小至接近於零的現象。因此，在簡化分析時常可將二者的電位視為相等，猶如兩端短路ㄧ般；而所謂虛斷路指的是 OPA 放大器在負回授的情況下，流入 OPA 本身輸入端的電流極小，小至接近於零，以致於可將 OPA 內部連接輸入電阻的兩輸入端視為斷路的現象。 以下將分別針對反相 OPA 電壓放大器以及非反相 OPA 電壓放大器，證明虛短路與虛斷路現象之存在。且上述的二現象若存在，則在推導反相與非反相 OPA 電壓放大器的增益公式時，過程將會容易許多。 反相 OPA 電壓放大器 虛短路與虛斷路現象 證明 如圖ㄧ所示，為一理想的反相 OPA 電壓放大器。運算放大器的等效電路則如圖二所示，其中的 $A_{vo}$ 為開迴路增益，且理想的 OPA 其 $A_{vo} \to \infty$ ( 實際的典型值約在 10 萬至 100 萬之間，相當的大 )。 圖ㄧ      反相 OPA 電壓放大器 圖二      運算放大器的等效電路 圖三     反相 OPA 電壓放大器等效電路 圖三所示為反相 OPA 電壓...
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從 0 積到 1，sqrt (x^2+1) 的積分 | 除法定則推導

作者： Danny Yang
Integral of Sqrt(x^2+1) from 0 to 1 求 $\int_0^1 \sqrt {x^2+1}\;dx$ 解： $$I=\int_0^1 \sqrt {x^2+1}\;dx$$ 利用 變數變換 (Change of Variable)，令 $$x=\tan \theta$$ 則 $$\theta = \tan^{-1}x$$ 且 $$dx=\sec^2 \theta\;d\theta$$ 代入 $I$，可得 $$I=\int_{\tan^{-1}0}^{\tan^{-1}1}\sqrt{\tan^2 \theta +1}\sec^2 \theta\;d\theta $$ $$\;\;= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec^3 \theta\;d\theta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 已知 $d(\tan \theta)=\sec^2\theta\;d\theta$ ，所以式子 (1) 可改寫成 $$I =\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec \theta\;d(\tan\theta)$$ 接著將上式應用 分部積分 (Integration by Parts) 公式：  $\int u\;dv=uv-\int v\;du$ ，可得 $$I=\left. \sec \theta \tan \theta \right \rvert_0^{\frac{\pi}{4}}-\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan \theta\;d(\sec\theta)\;\;\; $$ 又已知 $d(\sec \theta)=\sec \theta\tan\theta\; d\theta$ ，所以 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I=\left [ \sec \left (\frac{\pi}{4}\right )\tan \left (\frac{\pi}{4}\right )-\sec (0)\tan (0) \right ]-\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan \theta \c...
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OP-Amp 方波產生電路 | OP-Amp 方波產生電路的數學分析

作者： Danny Yang
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Mathematical Analysis of  Square Wave Generator Using OP-Amp 如圖一所示，為一 OP-Amp 方波 (square wave) 產生電路。由於正回授的運算放大器，其輸出不是正飽和電壓 $+V_{sat}$，就是負飽和電壓 $-V_{sat}$。因此，在作 OPA 方波產生電路的數學分析前，必須先就一開始其輸出為 $+V_{sat}$ 或 $-V_{sat}$ 這兩種輸出情況來分別討論。 圖一     OPA 方波產生電路
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