RLC 並聯交流電路的阻抗在阻抗複數平面上的軌跡圖為圓形之證明

 

圖一    RLC 並聯交流電路

如圖ㄧ所示的 RLC 並聯交流電路，其導納 (admittance)

$Y(j\omega) = G + \frac {1}{j\omega L}+j\omega C $

                                  $ = G + j(\omega C-\frac{1}{\omega L})$               (1)

則阻抗 (impedance)

$Z(j\omega) = \frac{1}{Y(j\omega)}$

                                         $ = \frac{1}{G + j(\omega C-\frac{1}{\omega L})}$               (2)

式子 (1) 的虛部稱為電納 (susceptance) ，以 $B (\omega)$ 表示，亦即

$B (\omega) = \omega C - \frac{1}{\omega L}$  

則式子 (2) 可改寫成

$Z(j\omega) = \frac{1}{G + jB(\omega)}$  

          $= \frac{G - jB(\omega)}{G^2 + B^2(\omega)}$

所以，由上式知

$Re[Z(j\omega)] = \frac{G}{G^2+B^2(\omega)}$               (3)

$Im[Z(j\omega)] = \frac{-B(\omega)}{G^2 + B^2(\omega)}$               (4)

將 $\frac{式子 (3)}{式子 (4)}$，可得

$\frac{Re(Z)}{Im(Z)} = \frac{G}{-B}$

亦即

$B = - \frac{GIm(Z)}{Re(Z)}$

上式代入式子 (3) 可得

$Re(Z) = \frac{G}{G^2 + \frac{G^2Im^2(Z)}{Re^2(Z)}}$

                     $=\frac{GRe^2(Z)}{G^2Re^2(Z) + G^2Im^2(Z)}$

再將上式整理後，可得

$GRe^2(Z) + GIm^2(Z) = Re(Z)$

$Re^2(Z) + Im^2(Z) = \frac{1}{G}Re(Z)$

$[Re^2(Z) - \frac{1}{G}Re(Z) + (\frac{1}{2G})^2] + Im^2(Z) = (\frac{1}{2G})^2$

$[Re(Z) - \frac{1}{2G}]^2 + [Im(Z)]^2 = (\frac{1}{2G})^2$

如圖二所示，上式明顯可知為複數平面上一圓心 $(\frac{1}{2G}, 0)$，半徑為 $\frac{1}{2G}$ 的圓方程式。

圖二    RLC 並聯交流電路複數平面的阻抗軌跡圖

注意當諧振發生時，

$\omega C = \frac{1}{\omega L}$

亦即 

$B = 0$

則

$Z(j\omega) = \frac{1}{G}$

會位於軌跡圓的最右端。