眞趣盎然集

Integral of x tan^(-1) x 求解 $\int x\tan^{-1}x\;dx$ 解： $$I=\int x\tan^{-1}x\;dx\;$$ $$\;\;\;\;=\int \tan^{-1}x\;d(\frac{x^2}{2})$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}\tan^{-1}x-\int \frac{x^2}{2}d(\tan^{-1}x)$$ 已知  $$(\tan x)^{'} = (\frac{\sin x}{\cos x})^{'}=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\sec^2 x$$ 即 $$\frac{d(\tan x)}{dx}=\sec^2 x$$ 所以， $$d(\tan x)=\sec^2 x\;dx$$ 又 $$\tan \left (\tan^{-1}x \right )=x$$ $$d \left [\tan \left (\tan^{-1}x \right ) \right ]=dx$$ $$\sec^2 \left (\tan^{-1}x \right )d \left (\tan^{-1}x \right )=dx$$ $$\left [1+\tan^2 \left (\tan^{-1}x \right )\right]d(\tan^{-1}x)=dx$$ $$(1+x^2)d(\tan^{-1}x)=dx$$ 可得 $$d \left (tan^{-1}x \right )=\frac{dx}{1+x^2}$$ 因此， $$I=\frac{x^2}{2}\tan^{-1}x-\int \frac{x^2}{2}\frac{dx}{1+x^2}$$ $$\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}\tan^{-1}x-\frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2}dx$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}\tan^{-1}x-\frac{1}{2} \int \frac{1+x^2-1}{1+x^2}dx$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\...

Working Principle and Output Pulse Duration Derivation of IC 555 Monostable  Multivibrator 如圖一所示，為一 IC 555 所組成的 單穩態多諧振盪電路 。首先我們先說明此振盪器的原理，接著再來推導此振盪器的輸出脈波寬度公式。 圖一      IC 555 單穩態多諧振盪電路 動作原理 如圖二所示為 555 的內部電路，其可幫助我們了解  IC 555 單穩態多諧振盪電路的動作原理。 如圖三所示，當電源打開瞬間，555 的第 4 腳 $(\;\overline {Reset}\;)$ 因其所連接的電容在該瞬間短路，會接收到邏輯 "0" 訊號，使得其第 3 腳 $(Output)$ 被重置，因而輸出邏輯 "0"，且放電電晶體導通，開始放電。但當電源穩定後，該電容開路使得第 4 腳接收到邏輯 "1" 訊號，停止重置輸出接腳，第 3 腳的輸出狀態才開始能受到第 6 腳與第 2 腳的輸入狀況的影響而改變。此時在放電電晶體導通的情況下，第 6 腳 $(Threshold)$ 電位約 $0.2V$ 等同於輸入邏輯 "0"，加上按鈕未按下時的第 2 腳輸入的是邏輯 "1"，意即此時 IC 555 的內部的 $RS$ 栓鎖器的 $R$ = "0" 且 $S$ = "0"，$Q$ 與 $\overline Q$ 維持原態 $($ $RS$ 栓鎖器的真值表，如圖四所示 $)$，因此第 3 腳繼續輸出邏輯 "0"。 圖二    IC 555 內部電路 圖三    IC 555 單穩態多諧振盪電路電源打開瞬間，輸出邏輯 "0" 且放電電晶體導通 ，電容 C 不充電 圖四     RS 栓鎖器真值表 當電源穩定後，按鈕開關按下瞬間，IC 555 的第 2 腳 $(Trigger)$ 會輸入邏輯 "0"，導致 IC 555 內部的 $S$ = "1"，$R$ 依舊為 "0"，因此 $Q$ = "1"，且放電電晶體不導通停止放電，電容 C 開始充電，...

Integral of (sqrt(x^2+4x+5))^(-1) 求 $\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+4x+5}}$ 解： $$I=\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+4x+5}}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;=\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+4x+4+1}}$$ $$\;\;\;=\int \frac{dx}{\sqrt {(x+2)^2+1}}$$ 令 $x+2=tan\; \theta$，則 $\theta = \tan^{-1}(x+2)$，且 $dx = \sec^2\theta\; d\theta$，可得 $$I=\int \frac{\sec^2\theta \;d\theta}{\sqrt{\tan^2\theta + 1}}\;$$ $$=\int \frac{\sec^2\theta \;d \theta}{\sec\; \theta}\;\;\;\;\;$$ $$\;=\int \sec\;\theta \;d \theta\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int \sec\theta \left ( \frac{\sec\theta + \tan \theta}{\sec\theta + \tan \theta}\right ) d \theta$$ $$\;\;\;\;\;=\int \frac{d(\sec \theta + \tan \theta)}{\sec \theta + \tan \theta}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\ln |\sec\theta + \tan\theta | + C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C \in R\;\;$$ 如圖一所示，$\tan \theta = x+2$，$\sec \theta = \sqrt{(x+2)^2+1}$，代入上式，可得 圖一      $tan\; \theta = x+2$ 的直角三角形    $$I=\ln |...

Integral of x sin^-1 x 求 $\int x \sin^{-1}x\;dx$ 解 ： 令 $$I = \int x \sin^{-1}x\;dx$$ $$\;\;\;\;\;\;=\int \sin^{-1}x\;d(\frac{x^2}{2})$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\int \sin^{-1}x\;d(x^2)$$ 上式利用分部積分 (Integration by parts)，可得 $$I =\frac{1}{2}(\sin^{-1}x)(x^{2})-\frac{1}{2}\int x^2d(sin^{-1}x)$$ 因為 $$\sin (sin^{-1}x)=x$$ 將上式等號兩邊微分，可得 $$\cos (\sin^{-1}x)d(sin^{-1}x) = dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 圖一     描述 $\sin (sin^{-1}x) = x$，$\cos (sin^{-1}x) = \sqrt {1-x^2}$  關係式的直角三角形 然而如圖一所示，可知 $$\cos (\sin^{-1}x) = \sqrt {1-x^2}$$ 代入式子 (1)  可得 $$\sqrt {1-x^2}\;d(\sin^{-1}x) = dx$$ 即 $$d(\sin^{-1}x)=\frac{dx}{\sqrt {1-x^2}}$$ 所以， $$I=\frac{x^2}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1-x^2}dx$$ 接著令 $x=\sin \theta$，則 $\theta = \sin^{-1}x$，且 $dx = \cos \theta \;d\theta$，因此上式可改寫成 $$\;\;I=\frac{x^2}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{2}\int \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}\cos \theta\; d \theta$$ $$=\frac{x^2}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{2}\int \sin^2 \theta \;d \theta\;\;\;\...

Working Principle and Frequency Derivation of a CMOS Astable Multivibrator 如圖一所示，為 CMOS 反閘的無穩態多諧振盪器。其中的 CMOS 反閘 (NOT GATE)，常可用 CMOS 反或閘 (NOR GATE) 代用，如圖二所示。 圖一     CMOS 反閘無穩態多諧振盪器 圖二      CMOS 反或閘無穩態多諧振盪器 電路原理 假設 $V_{SS} = 0 V$，如圖三所示，當電源打開瞬間，CMOS 反相器 1 的輸入為邏輯 "0" $($電位 $\simeq V_{SS} = 0 V$ $)$，其輸出則為邏輯 "1" $($電位 $\simeq V_{DD}$$)$，CMOS 反相器 2 的輸出就會是邏輯 "0"。此時，電容 C 開始充電。 圖三       CMOS 反閘無穩態多諧振盪器-電容充電 充電過程中，電容 C 負極的電位維持為 $0V$ 而其正極的電位會因充電而上升，一旦其值充至大於 CMOS 邏輯閘的 臨限觸發電壓 $V_t$  $(\simeq \frac{V_{DD}}{2})$ 瞬間，電容 C 兩極的電位差 $V_C = V_t$ ，CMOS 反相器 1 輸出轉態為邏輯 "0"，且 CMOS 反相器 2 輸出轉態為邏輯 "1" $($電位 $\simeq V_{DD}$$)$。在此瞬間電容 C 正極的電位本來應該變成 $V_t+V_{DD}$，負極則為 $V_{DD}$ $($ 電容器正負極的電位差 $V_C$ 值在該瞬間一樣維持為 $ V_t$$)$。但是由於 CMOS 邏輯閘輸入端有二極體組成的 靜電保護電路 ，如圖五所示，該保護電路會將此時電容 C 的正極的電位限制在約 $V_{DD}$，且電容會開始放電，如圖四所示。 圖四        CMOS 反閘無穩態多諧振盪器-電容放電 圖五     CMOS 邏輯閘的二極體輸入保護電路，會將輸入電壓限制在 $V_{SS} - 0.7 V$ 至 $V_{DD}+0.7V$ 之間 ...

Integral of e^(2x)sin 3x 求 $\int e^{2x}\sin 3x\;dx$ 解： $$ \int e^{2x}\sin 3x\;dx=-\frac{1}{3}\left [\int e^{2x}d(\cos 3x)\right ] \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$=-\frac{1}{3}\left [e^{2x}\cos 3x - \int \cos 3x\;d(e^{2x})\right ]\;\;\;\;\;\;$$ $$=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos 3x +\frac{1}{3} \int \cos 3x \cdot 2 \cdot e^{2x}dx$$ $$=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos 3x +\frac{2}{9} \int e^{2x}d(\sin 3x)\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos 3x +\frac{2}{9}e^{2x}\sin 3x-\frac{2}{9}\int \sin 3x \;d(e^{2x})$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos 3x +\frac{2}{9}e^{2x}\sin 3x- \frac{4}{9} \int \sin 3x \cdot e^{2x} dx$$ 所以， $$\frac{13}{9}\int e^{2x}\sin 3x\;dx = -\frac {1}{3}e^{2x}\cos 3x + \frac{2}{9}e^{2x}\sin 3x + C^{'}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C^{'} \in R$$ 即 $$\int e^{2x}\sin 3x\;dx =-\frac{3}{13}e^{2x}\cos 3x+\frac{2}{13}e^{2x}\sin 3x + C\;\;\;\;\;\;\;\...

  A  Pedestrian Crossing Safety Circuit with Self-resetting Functions Using Arduino 先前文章 具有倒數計時自動回復功能的行人穿越道號誌控制電路 是以純硬體電路的方式來完成，本文則是用微控器寫控制程式的方式來達成相同功能。 功能 路口在無行人穿越道路時會有黃燈閃爍；但是當有行人要安全地穿越道路時，行人按下「通行」按鈕後，路口的黃燈會熄滅同時紅燈亮且倒數 30 秒計時開始並顯示。此時，駕駛人看到紅燈亮，車輛會停下來等待行人通過。當倒數計時完畢，路口恢復閃黃燈且紅燈熄滅，車輛恢復通行。

  A Pedestrian Crossing Safety Circuit with Self-resetting Countdown Timer 先前的文章 簡易行人穿越道號誌控制電路 ，行人必須在安全穿越馬路後，手動按下「回復」按鈕，路口的燈號才會由亮紅燈回復到閃黃燈。本文以先前的簡易號誌控制電路為基礎，進一步將電路修改為一具有倒數計時 自動 回復功能的行人穿越道號誌控制電路，如圖一所示。 電路功能 平時路口閃黃燈，當有行人要安全地穿越車道時，可按下「通行」按鈕，按下後路口黃燈熄滅，轉而亮紅燈，行駛的車輛停止行進等待行人通過。此時， 顯示器 會顯示倒數計時起始秒數 30 秒，並開始倒數計時。ㄧ旦倒數計時至 0 ，路口紅燈就熄滅，轉而閃黃燈，原 停止的車輛就可以恢復行駛。 圖一      具有自動倒數計時回復功能的行人穿越道號誌控制電路 (七段顯示器為共陰型) 動作原理 電源打開瞬間， NOR Gate IC 4001 的第 5 腳會接收到邏輯 "1" 的訊號，且無論其第 6 腳接收到的訊號為何，第 4 腳會輸出邏輯 "0" 給 IC 4001 的第 2 與第 1 腳，導致其第 3 腳輸出邏輯 "1" 給 D 型正反器 4013 的第 4 腳 ($CLR$)。此時在第 6 腳 ($PR$) 恆為接地的情況下，IC 4013 的第 1 腳 ($Q$) 會輸出邏輯 "0"，使得紅色 LED 熄滅，且圖中左邊的 555 無穩態振盪器輸出的矩型波的反相波會出現在 IC 4001 的第 11 腳，驅動黃色 LED 閃爍。 電源穩定後，IC 4001 的第 5 腳會接收到邏輯 "0" 的訊號；同時因為左側的 十進制上下數計數器 IC 4029 並未有借位輸出，所以第 7 腳 ($\overline {CARRY \ \ OUT}$) 會輸出邏輯 "1" 給 IC 4001 的第 8 與第 9 腳，導致 IC 4001 的第 10 腳輸出邏輯 "0" 給 IC 4001 的第 6 腳，使得最終 IC 4001 的第 3 腳輸出邏輯 "0" 給 D 型正反器 IC 4013 的第 4 腳 ($CLR$)。在第 6 ...

Integral of x^2 cos x 求 $\int x^2\cos x\;dx$ 解： $$\int x^2\cos x\;dx=\int x^2 d(\sin x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x-\int \sin x\;d(x^2)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x - 2\int x\sin x\;dx$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x+2\int x\;d(\cos x)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x+2\left (x\cos x-\int \cos x\;dx\right)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x+2x\cos x-2\int \cos x\;dx$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x+2x\cos x-2\int d(\sin x)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2 \sin x+2x\cos x-2\sin x+C$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=(x^2-2)\sin x+2x\cos x+C$$ ■ 上面的解題過程中，有應用到不定積分的 分部積分 (Integration by parts) 公式，其形式如下： $\int u\;dv = uv - \int v\;du$ 推導： 假設 $u(x)$ 與 $v(x)$ 都有連續的導函數，且 $u(x)v(x)$ 可微，則 $$(uv) ^{'}= u^{'}v+uv^{'}$$ 對上式等號兩邊積分，可得 $$\int (uv)^{'}dx...

  A Simple  Pedestrian Crossing Safety System Using Arduino 先前的一篇文章 — 簡易行人穿越道號誌控制電路 ，是採硬體的方式設計出來的電路。本篇文章則是介紹以微控器靭體的方式撰寫程式來完成此簡單系統。 功能 平時路口閃黃燈，但當行人要安全地穿越車道，行人可按下「通行」按鈕，讓路口原本閃爍的黃燈熄滅，且另外的紅燈變亮，讓看到紅燈亮的車輛停下來等待行人通過。當行人穿越車道後，按下「回復」按鈕，則紅燈變熄滅，黃燈恢復閃爍。

A Simple  Pedestrian Crossing Safety Circuit 如圖一所示為一簡易行人穿越道號誌控制電路，此電路是由 D 型正反器、IC 555 無穩態多諧振盪器 RC 電路以及反或閘 (NOR Gate) 所組成。其功能與電路原理分別說明如下： 功能 平時路口閃黃燈，但當行人要安全地穿越車道，行人可按下「通行」按鈕，讓路口原本閃爍的黃燈熄滅，且另外的紅燈變亮，讓看到紅燈亮的車輛停下來等待行人通過。當行人穿越車道後，按下「回復」按鈕，則紅燈變熄滅，黃燈恢復閃爍。 圖一     行人穿越道號誌控制電路 動作原理 當電源打開瞬間，本身為 NOR Gate 的 IC 4001 的第 5 腳，會出現邏輯 "1" 的訊號 ($0.1\mu F$ 的電容在該瞬間為短路狀態 )，因而 IC 4001 的第 4 腳會輸出邏輯 "0" 給 IC 4001 的第 1 與第 2 腳，IC 4001 的第 3 腳會因此而輸出邏輯 "1" 給 D 型正反器 IC 4013 第 4 腳 (CLR) 。在 IC 4013 第 6 腳 (PR) 恆接地的情況下，導致 IC 4013 第 1 腳 (Q A ) 會輸出邏輯 "0" 的訊號給 IC 4001 的第 12 腳。且電源打開後，計時 IC 555 組成的無穩態多諧振盪器也會開始輸出矩形波至 IC 4001 的第 13 腳〔其原理參見 IC 555 無穩態多諧振盪器的原理與振盪頻率推導 〕。因此，IC 4001 的第 11 腳，在電源打開後會輸出 IC 555 無穩態多諧振盪器輸出矩形波的反相，來讓黃色的 LED 閃爍。 當電源打開一段極短時間穩定後，IC 4001 的第 5 腳會出現邏輯 "0"，第 6 腳一樣同為邏輯 "0"，IC 4001 的第 4 腳因而輸出邏輯 "1" 給 IC 4001 的第 1 與第 2 腳，導致 IC 4001 的第 3 腳輸出邏輯 "0" 給 IC 4013 第 4 腳。此時，IC 4013 的 CLR = "0" 且 PR = "0"，Q A 維持原態輸出邏輯 "0...