眞趣盎然集

  Proof of Boolean Algebra Theorems  布林代數的公設與基本定理，在簡化布林代數式進而簡化邏輯電路的應用上，是非常有用的工具。以下將逐一列出布林代數的定義、公設與定理，並說明如何利用布林代數的定義、公設、以及已證的其它基本定理來證明布林代數的定理。 首先須了解的是：布林代數的運算元 (Operand) $X \in \{0,1\}$，亦即布林的運算元僅能是被稱為 真值 (Truth Value) 的 $0$ 或 $1$ 。在運算 (Operation) 方面，布林代數可作 或 (OR) 、 及 (AND) 的二元運算，也可作 反相 (NOT) 的一元運算。其中或運算的符號為「+」，及運算的符號為「$\cdot$」( 有時可省略 )，而反相運算的符號為「$\;\overline {\;\; }\;$」或 「$\;'\;$」。其基本定義，則如下所示： 定義 (Definitions) 或的運算 (OR Operation) $0+0=0\;\;\;\;\;\;\;\;0+1=1$ $1+0=1\;\;\;\;\;\;\;\;1+1=1$ 及的運算 (AND Operation) $0\cdot 0=0\;\;\;\;\;\;\;\;0\cdot 1=0$ $1\cdot 0=0\;\;\;\;\;\;\;\;1\cdot 1=1$ 反相的運算 (NOT Operation) $\overline 0=1\;\;\;\;\;\;\;\;\overline 1=0$   若 $A$、$B$ 與 $C$ 為布林變數 (Boolean Variable)，則布林代數的公設，如下所示： 公設 (Postulates) 一致性   (Identity) (1)  $A+0=A$ (2)  $A\cdot 1=A$ 交換性  (Commutativity) (1)  $A+B=B+A$ (2)  $A\cdot B=B\cdot A$ 補數  (Complement) (1)   $A+\overline A=1$ (2)   $A\cdot \overline A=0$ 分配性 ...

  Proof of the Cauchy–Schwarz Inequality Using Inner Product 柯西—施瓦茲不等式如下所示： 若 $a_1$，$a_2$，$...$，$a_n$，以及 $b_1$，$b_2$，$...$，$b_n$ 均為實數，則 $(a_1b_1+...+a_nb_n)^2\le (a_1^2+...+a_n^2)(b_1^2+...+b_n^2)$ 證明： 令 $\mathbf A$ 與 $\mathbf B$ 為 $n$ 維空間的兩個向量， $$\mathbf A=(a_1,...,a_n)\;\;\;\;\;\;且\;\;\;\;\;\;\mathbf B=(b_1,...,b_n)$$ 已知 $$\mathbf A \cdot \mathbf B=\Vert \mathbf A \Vert \Vert\mathbf B\Vert\cos \theta$$ 其中的 $0\le\theta \le \pi$，是 $\mathbf A$ 與 $\mathbf B$ 之間的夾角。 則 $$\cos \theta =\frac{\mathbf A \cdot \mathbf B}{\Vert\mathbf A\Vert\Vert\mathbf B||}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$=\frac{a_1b_1+...+a_nb_n}{(a_1^2+...+a_n^2)^{1/2}(b_1^2+...+b_n^2)^{1/2}}$$ 又已知 $$\vert \cos \theta \; \vert \le 1$$ 所以 $$\frac{\vert a_1b_1+...+a_nb_n\vert}{(a_1^2+...+a_n^2)^{1/2}(b_1^2+...+b_n^2)^{1/2}}\le 1$$ 即 $$\vert a_1b_1+...+a_nb_n\vert \le (a_1^2+...+a_n^2)^{1/2}(b_1^2+...+b_n^2)^{1/2}$$ 不等式兩邊平方可得 $$(a_1b_1+...+a_nb_n)^2 \le (a_1^2+.....

How to Implement An XOR Gate Using Only NAND Or NOR Gates 如圖一所示的互斥或閘 (XOR Gate) ，是可以只由反及閘 (NAND Gate) 或反或閘 (NOR Gate) 這兩種萬用閘 (Universal Gate) 分別來實作。下面我們將分別說明其原理：   圖一  互斥或閘 ( XOR gate) 以反及閘實作互斥或閘  ( Implementing An XOR Gate Using NAND Gates ) 利用布林代數的 補數 公設   (Complement Postulate)： $X\overline X=0$ 、 一致性 公設 (Identity Postulate) ： $X+0=X$ 、 分配性 公設   (Distributivity Postulate) ： $X\cdot (Y+Z)=(X\cdot Y)+(X\cdot Z)$ 、 第摩根定律 (DeMorgan's Law)： $\overline {X\cdot Y}=\overline X+\overline Y$ 以及 自補定理 (Involution Theorem)： $\overline {\overline X}=X$ ，則 $Y$ 的布林代數式可改寫成： $$Y=A \oplus B\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$=A\overline B+\overline {A} B\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;=A\overline B+A\overline A+\overline A B+B\overline B$$ $$\;\;=A (\overline A+\overline B)+B (\overline A+\overline B)$$ $$=A\;\overline {AB}+B\;\overline {AB}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$=\overline {\overline { A\;\overline {AB}+B\;\overline {AB}...

Derivatives of Trigonometric Functions   三角函數在數學、物理學以及工程學上均佔有極重要的角色。本文在此主要說明三角函數導數 (Derivative) 的推導以及其對應的積分公式。首先，$\sin x$ 與 $\cos x$ 導數的推導，我們將利用尤拉公式 (Euler's Formula) 來完成。其餘的三角函數的導數，則會應用微分法則與三角函數等式來得到。 $\frac{d}{dx}\;\sin x=\cos x$ 對應的積分 $\int \cos x\;dx=\sin x+C$ 若 $u$ 為一可微的 $x$ 函數，則 $\frac{d}{dx} \sin u=\cos u \frac{du}{dx}$ 推導： 由尤拉公式 $$e^{ix}=\cos x+i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\forall\;x\in R$$ 可知 $$\sin x=\mathcal {Im}\left \{e^{ix}\right \}$$ 其中的 $\mathcal {Im}\{Z\}$ 表示複數 $Z$ 虛部 (Imaginary Part) 的意思。因此， $$\frac{d}{dx}\;\sin x=\frac{d}{dx}\;\mathcal {Im}\left \{e^{ix}\right \}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;=\mathcal {Im}\left \{\frac{d}{dx}\;e^{ix}\right \}$$ $$=\mathcal {Im}\left \{ie^{ix}\right \}\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\mathcal {Im}\{i(\cos x+i\;\sin x)\}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\mathcal {Im}\{-\sin x+i\;\cos x \}$$ $$=\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ 其對應的積分為 $$\int \cos x\;dx=\sin x+C$$ 此外，如果 $u$ 為一可微的 $x$ 函數 ( 即 $u=f...

  Current Analysis of A Series RLC Circuit Driven by A Sinusoidal Voltage Input 如圖一所示，為一正弦電動勢的 RLC 串聯電路。 圖一    正弦電動勢 RLC 串聯電路 假設迴路的電流為 $i$，則電阻 $R$ 的電壓降為 $Ri$，電感 $L$ 的電壓降為 $L\frac{di}{dt}$，電容 $C$ 的電壓降為 $\frac{1}{C}\int i\;dt$。根據 $KVL$，可知 $$Ri+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int i\;dt=E\;\sin \omega t$$ 上式等號兩邊對 $t$ 微分，可得 $$R\frac{di}{dt}+L\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{i}{C}=E\omega\cos \omega t$$ 整理得 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{di}{dt}+\frac{i}{LC}=\frac {E}{L}\omega \cos \omega t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 為一 線性二階非齊次微分方程 (Second-order Linear Non-homogeneous Differential Equation)。其通解 (General Solution) 的形式為 $i_h+i_P$，其中的 $i_h$ 為 齊次解 (Homogeneous Solution)，而 $i_p$ 則是 特殊解 (Particular Solution)。 求齊次解 $i_h$ 要找出式子 (1) 的齊次解，即是找出下面式子的的通解。 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{di}{dt}+\frac{i}{LC}=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 而 (2) 的 特徵方程式  (Characteristic Equati...

Integral of (ln x)^2 dx 求 $\int (\ln x)^2dx$ 解： 令  $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I=\int (\ln x)^2dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 且 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=\ln x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 則由 (2) 可知 $$du=\frac{dx}{x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ 以及 $$e^u=e^{\ln x}=x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$ 接著將上式 $x=e^u$ 代入 (3)，可得 $$du=\frac{dx}{e^u}$$ 即 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;dx=e^udu\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$ 因此，將 (2) 與 (5) 代入 (1) 可知 $$I=\int u^2e^udu\;\;\;$$ $$=\int u^2d(e^u)$$ 利用 分部積分 (Integration by Parts) 公式： $\int x\;dy=xy-\int y\; dx$ ，上式可改寫成 $$I=u^2e^u-\int e^u\;2u\;du\;\;$$ $$=u^2e^u-2\int u\;d(e^u)$$ 上式第二項的部分再應用一次分部積分，則上式還可以改寫成 $$I=u^2e^u-2\left [ue^u-\int e^udu \right ]$$ $$\;=u^2e^u-2ue^u+2\int e^udu$$ $$=u^2e^u-2ue^u+2e^u+C$$ 最後，將 (2) 代回上式，即可得 $$I=(\ln x)^2-2x\ln x+2x+C$$

  Schmitt Trigger Inverter Astable Multivibrator |  Derivation of Output Oscillation Frequency 如圖一所示，為一 施密特觸發反相閘 (Schmitt Triger Inverter Gate)  與一個電阻加上一個電容所組成的 無穩態多諧振盪器 。該電路一接上直流電源後，就能持續振盪並輸出矩形波。以下我們將說明其動作原理，並推導其輸出振盪頻率。 圖一   施密特觸發反相閘組成的無穩態多諧振盪器 動作原理 當施密特觸發反相閘的輸入端電壓小於其 下臨界電壓 (Lower Threshold Voltage) $V_L$ 時，該閘會輸出高電位 $V_{OH}$；反之，當其 輸入端電壓大於其 上臨界電壓 (Upper Threshold Voltage) $V_U$ 時，則會輸出低電位 $V_{OL}$。而當輸入電壓介於 $V_L$  與 $V_U$  之間時，則輸出狀態維持不變。常見的 施密特觸發反相閘 IC 有 74LS14 以及 CD40106。 當電源打開瞬間，電容 $C$ 可視為短路，因電容的負端接地，所以該瞬間 施密特觸發反相閘的輸入電壓約為 $0\;V$ ，明顯小於 $V_L$，故閘輸出 $V_{OH}$。而很快地當電源穩定，電容不再有短路現象後，電容 $C$ 將開始被充電，如圖二所示。接著當電容電壓 $v_C$ 因充電增加至大於 閘的 $V_U$ 瞬間，閘的輸出會由高電位 $V_{OH}$ 轉態成低電位 $V_{OL}$。 圖二   電容充電 當上述的 $v_C \gt V_U$，且 $v_o=V_{OL}$ 的狀態發生時 ( 注意 $V_U \gt V_{OL}$)，電容反過來開始放電，如圖三所示。當電容電壓因放電下降至小於 $V_L$ 瞬間，閘的輸出會由低態 $V_{OL}$ 轉態成高態 $V_{OH}$。接著，電容又開始被充電，如此周而復始，因而 密特觸發反相閘 持續輸出矩形波。此無穩態多諧振盪器的波形圖，如圖四所示。 圖三   電容放電 圖四   $v_c$  與  $v_o$ 波形圖 輸出頻率推導 電容充電時間 $t_1$ 如...

  Approximating Roots of Numbers Using Differentials | Standard Linear Approximation 若一非線性函數在某特定點的值易求得，則該特定點附近其它不易求得值的點之值，可利用該特定點的 線性化 (Linearization) 函數找到其近似值。而數的次方根近似值，常可利用此方法輕易找到。 若 $y=f(x)$ 在 $x=a$ 處為可微，則 $f(x) \approx f(a)+f^{'}(a)(x-a)$ 其中  $P(x)=f(a)+f^{'}(a)(x-a)$ 稱為 $f(x)$ 在 $a$ 點的線性化函數 如圖一所示，$f(x)$  在 $a$ 點的線性化函數為 $$P(x)=f(a)+f^{'}(a)(x-a)$$ 如果 $x$ 沒有離 $a$ 太遠，則可知 $$f(x) \approx P(x)=f(a)+f^{'}(a)(x-a)$$ 誤差將不會太大。 圖一  f(x) 與 f(x) 在 a 點的線性化函數關係圖 在應用上，數的次方根近似值，常可利用此方法找到。其方法如下： 首先如圖二所示的 $f(x)=\sqrt{1+x}$ 的函數圖可知：如果我們現在想找出 $\sqrt {1.3}$ 的近似值，等同於要找出 $f(0.3)=\sqrt {1+0.3}$ 的近似值。而且最靠近點 $0.3$ 且容易找到值的點應是 $0$，因為明顯可知 $$f(0) =1$$ 又 $$f^{'}(x)=\frac{1}{2\sqrt {1+x}}$$ 即 $$f^{'}(0)=\frac{1}{2}$$ 因此，$f(x)$ 在 $x=0$ 點的 線性化函數為  $$P(x)=f(0)+f^{'}(0)(x-0)=1+\frac{x}{2}$$ 所以 $$\sqrt {1.3}=f(0.3) \approx P(0.3)=1+\frac{0.3}{2}=1.15$$ 而 $\sqrt {1.3}$ 用計算機算出來的值為 $1.14$。 圖二   $y=\sqrt{1+x}$  與其在 $x=0$ 的線性函數圖 範例一： 利用微分 (Differentials)，找出 $\sqrt[3]{1001}$ 的近似值 解： 令 $$f(...

General Solutions of Vector Inner and Outer Product Equations 如下的向量內積向量等式， $c$  為純量 (Scalar)，$\mathbf A$ 為一已知向量，$\mathbf X$ 為未知向量，且 $\mathbf B$ 為任一垂直 $\mathbf A$ 的向量 ( 即 $\mathbf A \cdot \mathbf B =0)$，則該等式與其一般解如下： $1.\;\;c = \mathbf A \cdot \mathbf X$ $\;\;\;\;$則 $\;\;\;\;\mathbf X = \frac{c\; \mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A}+\mathbf B$ 推導： 根據正射影 (Orthogonal Projection) 公式， $\mathbf X$ 在 $\mathbf A$ 上的 正射影    $$\mathbf D=Proj_{\mathbf  A}\mathbf  X=\frac{\mathbf  X \cdot \mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A}\mathbf A$$ 又已知 $\mathbf B$ 為垂直於 $\mathbf A$ 的任一向量，所以 $$\mathbf X=\mathbf D+\mathbf B=\frac{\mathbf  X \cdot \mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A}\mathbf A+\mathbf B=\frac{c\;\mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A}+\mathbf B$$ ■ 如下的向量外積向量等式，$\mathbf A$ 與 $\mathbf C$ 為已知的向量，$\mathbf C$ 為一未知的向量，且 $k$ 為任一純量，則該等式及其一般解如下： 2.$\;\;\mathbf C=\mathbf A \times \mathbf X$ $\;\;\;\;\;$則 $\;\;\;\;\;\mathbf X=\frac {\mathbf C \times \mathbf A}{\mathbf A \cdot...

Current Analysis of A Series RC Circuit Driven by A Sinusoidal Voltage Input 如圖一所示，為一正弦電動勢 $RC$ 串聯電路，其電流方程式 $i(t)$ 的推導，是先應用 克希荷夫電壓定律 $(KVL)$ 後，將出現的 線性一階微分方程 (Linear First-Order Differential Equation) 進行求解所得到的。其推導的過程說明如下： 圖ㄧ    正弦電動勢 RC 串聯電路 設迴路電流為 $i$，則電阻 $R$ 的電壓降 $v_R=Ri$，且電容 $C$ 的電壓降 $v_C=\frac{1}{C}\int i\;dt$。 因此，根據 $KVL$，可知 $$Ri+\frac{1}{C}\int i\;dt=E\sin \omega t$$ 上式兩邊對 $t$ 微分，可得 $$R\frac{di}{dt}+\frac{i}{C}=E\;\omega \cos \omega t$$ 上式兩邊同除 $R$，可得如下的 非齊次 的 (nonhomogeneous) 線性一階微分方程  ： $$\frac {di}{dt}+\frac{i}{RC}=\frac{E\;\omega}{R}\cos  \omega t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 式子 (1) 的積分因子 (Integrating Factor) 為 $$F(t)=e^{h(t)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其中\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;h(t)=\int \frac{1}{RC} dt$$ 將式子 (1) 兩邊同乘 $F(t)$，可得 $$e^{\frac{t}{RC}}\frac{di}{dt}+\frac{e^{\frac{t}{RC}}}{RC} i=e^{\frac{t}{RC}}\frac {E\;\omega}{R}\cos  \omega t $$ 即 $$\frac{d(e^{\frac{t}{RC}}i)}{dt}=e^{\frac{t}{RC}}\frac {E\;\omega}{R}\cos \omega t $$ $$d(e^{\fr...