眞趣盎然集

餘弦定理 (Law of Cosines) 敘述如下： 三角形 $ABC$ 中，若 $\angle A$ 的對邊長度為 $a$，$\angle B$ 的對邊長度為 $b$，$\angle C$ 的對邊長度為 $c$，則 $a^2=b^2+c^2-2bc \cos \angle A$ $b^2=a^2+c^2-2ac \cos \angle B$ $c^2=a^2+b^2-2ab \cos \angle C$ 推導： 如圖一所示的三角形 $ABC$， 圖一   (a) $\angle C$ 為銳角時的三角形 $ABC$，  (b) $\angle C$ 為鈍角時的三角形 $ABC$ (1) 當 $\angle C$ 為銳角 (Acute Angle) 時： 如圖二所示，自頂點 $A$ 劃一條垂直於 $\overline {BC}$ 的線，垂足為 $D$，則  $\overline {CD}=b\cos \angle C$， $\overline {AD}=b\sin \angle C$，且可知 $\overline {BD}=a-b\cos \angle C$。 圖二    $\angle C$ 為銳角的三角形 $ABC$ 將直角三角形 $ABD$，應用 畢氏定理 (Pythagorean Theorem) 可得 $$c^2=(a-b\cos \angle C)^2+(b\sin \angle C)^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;=a^2-2ab\cos \angle C+b^2\cos^2 \angle C+b^2 \sin^2 \angle C$$ $$=a^2-2ab\cos \angle C+b^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ (2) 當 $\angle C$ 為鈍角 (Obtuse Angle) 時： 如圖三所示，自頂點 $A$ 劃一條垂直於 $\overline {BC}$ 的延伸線，垂足為 $D$，則 $\overline {CD}=b\cos (\pi-\angle C)=-b\cos \angle C$，$\overline {AD}= b\sin (...

二維的 科西不等式 (Cauchy-Schwarz Inequality) 如下所述： 設 $a$、$b$ 與 $x$、$y$ 均為實數，則 $(a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2$ 且當 $ay=bx$ 時，等號成立 推導一： $$(a^2+b^2)(x^2+y^2) =a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又已知 $$a^2y^2-2abxy+b^2x^2=(ay-bx)^2 \ge 0$$ 亦即 $$a^2y^2+b^2x^2 \ge 2abxy\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 且由上面的不等式可知，等號成立發生在 $(ay-bx)^2=0$，即 $ay=bx$ 時。 將式子 (2) 代入式子 (1)，即可得 $$(a^2+b^2)(x^2+y^2)  \ge a^2x^2+2abxy+b^2y^2=(ax+by)^2$$ 即 $$(a^2+b^2)(x^2+y^2)  \ge (ax+by)^2$$ 且等號成立發生在 $ay=bx$ 時。 推導二： 令 $\overrightarrow u = (a, b)$，$\overrightarrow v=(x, y)$，且 $\overrightarrow u\;$ 與 $\overrightarrow v\;$ 的夾角為 $\theta$，則 $$\overrightarrow u\; \cdot \; \overrightarrow v = ax+by$$ 且 $$|\;\overrightarrow u\;| =\sqrt{a^2+b^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\;\overrightarrow v\;| =\sqrt{x^2+y^2}$$ 代入內積 (Inner Product) 的定義 $$\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v =|\;\overrightarrow u\;||\;\overrightarrow v\;|\cos \theta$$ 可得 $$ax+by=\sqrt{a^2+b^2}\;\sqrt{x^2+y^2}\...

  求解  $\int x^3 \cos 2x\;dx$  解： 令 $$I = \int x^3 \cos 2x\;dx$$  因為 $d(\sin 2x)=2\cos 2x\;dx$，即 $\cos 2x\;dx=\frac{1}{2}d(\sin 2x)$，代入 $I$ 可得 $$I= \frac{1}{2}\int x^3\;d(\sin 2x)$$ 利用不定積分的 分部積分 (Integration by Parts) 公式： $$\int u\;dv=uv-\int v\;du$$ 令 $u=x^3$、$v=\sin 2x$，則 $$I=\frac{1}{2}\left [x^3\sin 2x-\int \sin 2x\;d(x^3)\right ]\;\;\;\;\;$$ $$=\frac{1}{2}\left [x^3 \sin 2x-3\int x^2\sin 2x\;dx \right ]$$ 因為 $d(\cos 2x) = -2\sin 2x\;dx$，即 $\sin 2x\;dx = - \frac{1}{2}d(\cos 2x)$，代入 $I$ 可得 $$I=\frac{1}{2}\left [x^3\sin 2x+\frac{3}{2}\int x^2 \;d(\cos 2x) \right ]$$ 再用一次分部積分公式，令 $u=x^2$、$v=\cos 2x$，則 $$I=\frac{1}{2}\left [x^3\sin 2x+\frac{3}{2}x^2\;\cos 2x-\frac{3}{2}\int \cos 2x\;d(x^2) \right ]$$ $$\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\left [x^3\sin 2x+\frac{3}{2}x^2\cos 2x-\frac{3}{2}\int \cos 2x\;(2x\;dx) \right ]$$ 又 $d(\sin 2x) = 2\cos 2x\;dx$，所以上式可改寫成 $$I=\frac{1}{2}\left [ x^3 \sin 2x+\frac{3}{2}x^2 \cos 2x-\frac{3}{2}\int x\;d(\sin 2x) \right ]$$ 接著繼續再用一次分部積分公式，令 $u=x$、$...

  先前介紹的「 基本的交通號誌控制電路 」一文，並沒有紅燈倒數計時的功能，本文延續該電路探討如何將 紅燈倒數計時的功能 加入 。其完整的電路如圖一所示： 圖一   有紅燈倒數計時的基本的交通號誌控制電路 功能 一開始縱向的紅色 LED 亮，伴隨著從 4 秒開始的倒數計時顯示，且橫向的綠色 LED 同時跟著亮。當縱向的紅色 LED 倒數至 1 秒時，橫向的綠色 LED 熄滅，且橫向的黃色 LED 亮；當縱向的紅色 LED 倒數至 0 秒時 (不顯示)，縱向的紅色 LED 熄滅，轉而縱向的綠色 LED 亮，且橫向的紅色 LED 亮，伴隨著從 4 秒開始的倒數計時顯示。當橫向的紅色 LED 倒數至 1 秒時，縱向的綠色 LED 熄滅，縱向的的黃色 LED 亮；當橫向的紅色 LED 倒數至 0 秒時 (不顯示)，橫向的紅色 LED 熄滅，縱向的綠色 LED 亮，如此周而復始。其燈號動作時序圖如圖二所示。 圖二   燈號動作時序圖 電路設計 沒有紅燈倒數計時功能的 基本的交通號誌控制電路 ，電路如圖三所示，該部分的原理參見該文說明，這裡不再贅述。接下來，我們將只針對要另外加入的紅燈倒數計時部分的電路來作說明。 圖三   無紅燈倒數計時的基本的交通號誌控制電路 圖四    紅燈倒數計時顯示電路的 真值表 基本的交通號誌控制電路中的 3 位元模數 8 的同步上數計數電路的輸出 $(Q_C,\;Q_B,\;Q_A)$ ，是我們要加入的紅燈倒數計時顯示部分的輸入；而圖一中負責將 BCD 碼轉七段顯示碼的兩顆 IC 4511 各自的 BCD 碼輸入腳 $(Q_C^{'},\;Q_B^{'},\;Q_A^{'})$ 與 $(Q_C^{"},\;Q_B^{"},\;Q_A^{"})$ ，則分別是縱向與橫向的紅燈倒數計時輸出連接接腳，其真值表如圖四所示。 根據圖四的真值表，可畫出圖五至圖十的 卡諾圖 (Karnaugh Map)： 圖五    $Q_C\;'$ 的卡諾圖 圖六     $Q_B\;'$ 的卡諾圖 圖七    $Q_A\;'$ 的卡諾圖 圖八    $Q_C\;''$ 的卡諾圖 圖九   ...

科學記號 (Scientific Notation) 常被用來簡潔地表示極大或極小的數值以方便分析，其表示法為  $$a \times 10^n \;\;\; (1 \le |\;a\;|<10，n \;為整數 )$$ 例如一個大於 $1$ 的數： $673,000$，若以科學記號來表示，可寫成 $6.73 \times 10^5$，將其取對數，可得 $5+\log\;6.73$，其中 $5$ 為對數值整數的部分，$\log\;6.73$ 為對數值小數的部分。我們可以觀察到 $673,000$ 為 6 位數，剛好是其科學記號表示法中的指數 $5$ 加 $1$ 或是其對數值整數部分 (即 $5$) 加 $1$ 的結果；又一個小於 $1$ 的數：$0.00673$ 的科學記號為 $6.73 \times 10^{-3}$，對數值為 $-3+\log\;6.73$，我們也可以觀察到該數在小數點第 $3$ 位開始數字不為 $0$，剛好是其科學記號表示法中的指數 $-3$ 的絕對值或是其對數值整數部分的絕對值。 因此，若有一正數 $x$ 其科學記號為 $a \times 10^n\;(a\;為正數，\;n\;為整數\;)$，則 $$x=a \times 10^n$$ 上式兩邊取對數，可得 $$log\;x = log\;(a \times 10^n)=log\;a+log\;10^n=n+log\;a$$ 已知 $1\le a <10$，所以 $0 \le \log\;a <1$。上式中的 $n$ 為對數值的整數部分稱為 $\log\;x$ 的 首數  (Characteristic)，而 $\log\;a$ 為對數值小數的部分則稱之為 尾數  (Manttissa)。若 $n$ 為正整數，則 $x$ 的位數為 $n+1$；若 $n$ 為負整數，則 $x$ 在小數點以下第 $|\;n\;|$ 位開始數字不為 $0$。 從另一角度來看，令上式中的 $\log\;a=m$，則  $\log \;x=n+m$，其中的 $m$ 為尾數。 可知 $$x=10^{n+m}$$ 且 $$0 \le m \lt 1$$ 所以 $$n \le n+m \lt n+1$$ $$10^{n} \le 10^{n+m} \lt 10^{n+1...

  功能 一開始縱向的紅色 LED 亮，伴隨著從 120 秒開始的倒數計時 ( 倒數秒數為 3 位數時不顯示，倒數至 2 位數即 99 秒時才開始顯示 )，且橫向的綠色 LED 同時跟著亮。當縱向的紅色 LED 倒數至 3 秒時，橫向的綠色 LED 熄滅，且橫向的黃色 LED 亮；當縱向的紅色 LED 倒數至 0 秒時 ( 不顯示 )，縱向的紅色 LED 熄滅，轉而縱向的綠色 LED 亮，且橫向的紅色 LED 亮，伴隨著從 120 秒開始的倒數計時( 一樣倒數秒數為 3 位數時不顯示，倒數至 2 位數即 99 秒時才開始顯示 )。當橫向的紅色 LED 倒數至 3 秒時，縱向的綠色 LED 熄滅，縱向的的黃色 LED 亮；當橫向的紅色 LED 倒數至 0 秒時 ( 不顯示 )，橫向的紅色 LED 熄滅，縱向的綠色 LED 亮，如此周而復始。 電路圖 圖一   有紅燈倒數計時的紅綠燈控制電路圖

電路接線圖 如圖一所示：

若有一以 $a$ 為 底數 (Base) 的指數 (Exponential)   $$a^b=x  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(a>0，a \ne 1 \;且\; x>0)$$ 則有  $$\;\;\;\;\;\;\;\;b=log_a\; x  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (a\; 稱為底數，x\; 稱為真數 )$$ 其中 對數 (Logarithm) $log_a\; x$ 的意思是：『$x$ 是 $a$ 的幾次方？』，答案是 $b$ 次方，此即為其對數值。例如 $log_2\; 8 $ 表示的是 $8$ 是 $2$ 的幾次方，即 $log_2\; 8 = 3$。從上述也可看出指數與對數是互為逆運算的。而對數常見的應用則是如下所述的對數和差公式，可將原為乘除的運算，轉換為較簡單的加減運算。以下我們將分別推導對數的一些基本性質與法則： 對數的和差公式 ( Logarithmic Sum and Difference Formulas ) 設底數 $a>0$ 且 $a \neq 1$，真數 $x$ 、$y>0$，則 $log_a\; x+log_a \;y = log_a\; xy$ $log_a\; x-log_a\; y = log_a\; \frac{x}{y}$ 推導： 令 $log_a\;x = m$， $log_a\; y = n$，則  $$x=a^m \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y=a^n$$ 將 $x$ 與 $y$ 相乘，可得 $$xy=a^{(m+n)}$$ 即 $$log_a\; xy = log_a\; a^{(m+n)}$$ $$\;\;\;\;\;=m+n$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=log_a\; x + log_a \;y$$ 又將 $x$ 與 $y$ 相除，可得 $$\frac{x}{y} = a^{(m-n)}$$ 即 $$log_a\; \frac{x}{y}=log_a\; a^{(m-n)}$$ $$\;\;\;\;\;=m-n$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=log_a\; x...

Derivation of the Sum Difference Identities in Trigonometry Using Euler's Formula 正弦、餘弦以及正切的和差角公式如下： $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin  \alpha\cos  \beta \pm \cos \alpha \sin \beta $ $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha\cos \beta \mp \sin \alpha\ sin\; \beta$ $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha\; \pm \tan\; \beta}{1 \;\mp \tan  \alpha \tan \beta}$ 推導： 由 尤拉公式 $$e^{ix}= \cos x+i \sin x$$ 可知 $$e^{i(\alpha \pm \beta) }= \cos (\alpha \pm \beta) + i \sin (\alpha \pm \beta)$$ 亦即 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \cos (\alpha \pm \beta) = Re\left \{e^{i(\alpha \pm \beta) }\right \}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 且 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \sin (\alpha \pm \beta) = Im \left  \{e^{i(\alpha \pm \beta) }\right \}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 其中 $Re\{Z\}$ 表示複數 $Z$ 的 實部 (Real Part)，$Im \{Z\}$ 則表示複數 $Z$ 的 虛部 (Imaginary Part)。 又 $$e^{i(\alpha \pm \beta) }= e^{i\alpha}\; e^{\pm i\beta}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\...

一個基本的交通號誌控制電路，可利用 3 位元模數 8 的同步上數計數電路 搭配 時脈產生電路 作計時輸出，再透過 組合邏輯電路 來決定紅黃綠燈何時亮來完成。圖一所示為紅黃綠燈號的動作時序圖，其完整的電路圖則如圖二所示。 圖一   紅綠燈控制電路燈號動作時序圖

已知平面上兩向量 $\overrightarrow a\;$ 與 $\overrightarrow b\;$，其中 $\overrightarrow a = (a_1, \;a_2)$ 且 $\overrightarrow b = (b_1,\;b_2)$，則此二向量所圍成的三角形面積為 $\Delta \;面積\; =\frac{1}{2}\sqrt{|\;\overrightarrow a\;|^2|\;\overrightarrow b\;|^2-(\;\overrightarrow a\;\cdot \overrightarrow  b\;)^2}=\frac{1}{2}\;|\;\overrightarrow a \times \overrightarrow b\;|=  \frac{1}{2}\;|\;\begin{vmatrix}     a_1 & a_2 \\     b_1 & b_2    \end{vmatrix}\;|$

數線上的內分點公式 ( Internal Section Formula ) 圖一   數線上的內分點 P 如圖一所示，$P$ 點是 $\overline{AB}$ 的內分點，其中 $m$，$n$ $>0$ ，則其座標與 $A$、$B$ 兩點座標的關係為： $(x_p, y_p)=(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\;\frac{ny_1+my_2}{m+n})$ 推導： 如圖二所示， 圖二   數線上內分點公式推導的輔助線圖 令 $\overline {AP}$ 的長度為 $mk$，且 $\overline {PB}$ 的長度為 $nk$，則 $\overline {AB}$ 的長度為 $(m+n)k$，其中 $k>0$，可知 $$y_2-y_1=(m+n)k\sin\theta$$ 所以， $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k\sin \theta=\frac{y_2-y_1}{m+n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又 $$x_2-x_1=(m+n)k\cos \theta$$ 可知 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k\cos \theta=\frac{x_2-x_1}{m+n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 已知 $$x_p=x_1+mk\cos \theta$$ 將式子 (2) 代入上式，可得 $$x_p=x_1+\frac{m(x_2-x_1)}{m+n}=\frac{nx_1+mx_2}{m+n}$$ 而 $$y_p=y_1+mk\sin\theta$$ 將式子 (1) 代入上式，則可得 $$y_p=y_1+\frac{y_2-y_1}{m+n}=\frac{ny_1+my_2}{m+n}$$ ■ 範例一 ：$A(6, 3)$ ，B(1, -2)，$P$ 在線段 $\overline{AB}$ 上，且 $\overline {AP}\;:\;\;\overline{PB} =2:3$，則 $P$ 點座標為何 解： $$P(x, y)=\left( \frac{nx_1+mx_2}{m...

圖一   $\;\overrightarrow c \;$ 是 $\;\overrightarrow a \;$ 的正射影 如圖一所示，若 $\overrightarrow c = t \;\;\overrightarrow {b}\;$ 且 $(\;\overrightarrow a - \;\overrightarrow c\;\;)\; \bot \;\overrightarrow b\;$，則 $\;\overrightarrow c\;$ 稱為 $\;\overrightarrow a\;$ 在 $\;\overrightarrow b\;$ 上的 正射影 (Orthogonal Projection)。而 $\;\overrightarrow c\;$ 與 $\;\overrightarrow a\;$ 、$\;\overrightarrow b\;$ 的關係如下： $proj_{\;\overrightarrow b\;}\;\overrightarrow a\; = \;\overrightarrow c \;= \frac{(\;\overrightarrow a \;\cdot \;\overrightarrow b\;)\;\overrightarrow b\;}{|\; \overrightarrow b\; |^2} =\frac{(\;\overrightarrow a \;\cdot \;\overrightarrow b\;)\;\overrightarrow b\;}{ \overrightarrow b\; \cdot \;\overrightarrow b}$ 推導一： 已知 $\;\overrightarrow b\;$ 的單位向量為 $\frac{\overrightarrow b}{|\;\overrightarrow b\;|}$，$\;\overrightarrow c = t \;\;\overrightarrow {b}\;$，$t$  為正實數，則 $$\overrightarrow c = |\;\overrightarrow a \;|\cos \theta \;\frac{\overrightarrow b}{|\;\overrightarrow b\;|}$$ 將上式的分子分母同乘以 ...

Analysis of  OP-amp Integrator Circuit  如圖一所示，為一運算放大器與 $RC$ 組成的積分電路，一般稱之為 米勒積分器 (Miller Integrator) 或 反相積分器 (Inverting Integrator)。此積分電路可輸出正比於輸入電壓對時間的積分值電壓。其用途常見於訊號處理、控制系統以及感測器訊號轉換等。 圖一  OP AMP 積分電路

MOSF ET Common Drain Amplifier  (Source Follower): Small Signal Analysis    如圖一所示，為一 MOSFET 共汲極放大電路  (Common Drain Amplifier) ，此電路又被稱為 源極隨耦器 (Source Follower)。其特點是輸入阻抗大，輸出阻抗小，且電壓增益小於 1 但接近於 1 ，故在多級放大器中，常被作為 電壓緩衝級 用來驅動較小的負載輸出。 圖一     MOSFET 共汲極放大電路 MOSFET 共汲極放大電路的小訊號等效電路如圖二所示，其交流特性說明如下： 圖二      MOSFET 共汲極放大電路的 小訊號等效電路 電壓增益 (Voltage Gain) $A_v$ 由圖二可知： $$v_i=v_{gs}+v_o\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 且 $$v_o=g_{m}v_{gs}\left ( R_s // r_o \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 由式子 (2) 可知：  $$v_{gs}=\frac{v_o}{g_m(R_s // r_o)}$$ 代入式子 (1)，可得 $$v_i=v_o\left [1+\frac{1}{g_m(R_S//r_o)}\right ]$$ 所以，電壓增益為 $$A_v=\frac{v_o}{v_i}=\frac{1}{1+\frac{1}{g_m(R_s // r_o)}}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{1+\frac{1}{g_m(\frac{R_s r_o}{R_s+r_o})}}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{1+\frac{R_s+r_o}{g_m R_s r_o}}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{g_mR_sr_o}{g_mR_sr_o+R_s+r_o}$$ 若 $r_o \gt\gt R_s$，將上式分子分母同...