眞趣盎然集

Mathematical Analysis of Triangular Waveform Generator Circuit Using Op-amp  三角波產生器是由 史密特觸發電路 (Schmitt trigger) 與 米勒積分器 (Miller Integrator) 所組成。前者負責產生方波後再輸入後者以產生三角波，而史密特觸發電路的輸入則是來自積分器的輸出。以下將對三角波產生器進行電路與數學分析，以了解其動作的原理。 如圖一所示的三角波產生器，OPA1 與 $R_1$、 $R_2$ 的連結組成了 非反相史密特觸發電路 ，輸出 $v_{o1}$，而其輸入來自於由 OPA2 與 $R$、$C$ 的連結所組成的 積分器 的輸出 $v_o$。 圖一     三角波產生器  

Reasons Behind Virtual Short and Virtual Open Circuits In Ideal Operational Amplifiers 採負回授的運算放大器 (Operational Amplifier，簡稱 OPA 或 OP-Amp) 可作為電壓訊號放大之用。而欲被放大的電壓輸入信號若輸入於 OPA 的負輸入端 ($v_-$) ，所形成的電壓放大器被稱為 反相 OPA 電壓放大器 (Inverting Operational Amplifier)；反之，若電壓輸入信號輸入於 OPA 的正輸入端  ($v_+$)，則被稱為 非反相 OPA 電壓放大器 (Non-inverting Operational Amplifier)。無論是反相 OPA 電壓放大器或是非反相 OPA 電壓放大器，其 OPA 的正負輸入端，在負回授方式連接的情況下皆存在有 虛短路 (Virtual Short) 與 虛斷路 (Virtual Open) 現象。 所謂虛短路指的是理想的 OPA 放大器在負回授的情況下，OPA 的正輸入端與負輸入端的電位差極小，小至接近於零的現象。因此，在簡化分析時常可將二者的電位視為相等，猶如兩端短路ㄧ般；而所謂虛斷路指的是 OPA 放大器在負回授的情況下，流入 OPA 本身輸入端的電流極小，小至接近於零，以致於可將 OPA 內部連接輸入電阻的兩輸入端視為斷路的現象。 以下將分別針對反相 OPA 電壓放大器以及非反相 OPA 電壓放大器，證明虛短路與虛斷路現象之存在。且上述的二現象若存在，則在推導反相與非反相 OPA 電壓放大器的增益公式時，過程將會容易許多。 反相 OPA 電壓放大器 虛短路與虛斷路現象 證明 如圖ㄧ所示，為一理想的反相 OPA 電壓放大器。運算放大器的等效電路則如圖二所示，其中的 $A_{vo}$ 為開迴路增益，且理想的 OPA 其 $A_{vo} \to \infty$ ( 實際的典型值約在 10 萬至 100 萬之間，相當的大 )。 圖ㄧ      反相 OPA 電壓放大器 圖二      運算放大器的等效電路 圖三     反相 OPA 電壓放大器等效電路 圖三所示為反相 OPA 電壓...

N 通道增強型 MOSFET 在飽和區操作時，若忽略通道長度調變效應的理想情況下，其 I–V 特性方程式為 $$I_D = K (V_{GS} - V_t)^2$$ 實際上若考慮通道長度調變效應，則上式應修正為 $$I_D \approx K (V_{GS} - V_t)^2(1+\frac{V_{DS}}{V_A})$$ 以下將針對這兩種情況，分別推導上述的兩公式。 理想的 $I-V$ 特性方程式

如圖一所示，為ㄧ N 通道增強型 MOSFET 在已知 $V_{GS}$ 值時的理想 $I_D - V_{DS}$  特性曲線圖。當 $V_{GS} < V_{GS}-V_t$  時，N 通道增強型 MOSFET 操作在歐姆區 (Ohmic Region) 或稱三極區 (Triode Region) 或是非飽和區 (Nonsaturation Region)，其  $I_D - V_{DS}$ 特性曲線方程式為一二次函數：即ㄧ開口向下，頂點座標為 $(V_{GS}-V_t, I_{D1})$，且經過原點的拋物線的左半部。其中的 $I_{D1} = K(V_{GS}-V_t)^2$ ，為 N 通道增強型 MOSFET 的操作由歐姆區進入飽和區臨界點的 $I_D$ 表示式，而 $K$ 為一常數且其值可由下式決定： $$K=\frac{1}{2}\mu C_{o}(\frac{W}{L})$$ 上式中的 $\mu$  為感應通道中主要載子 ( 在此是電子) 的遷移率 (mobility)，$C_o$ 是閘極與通道間每單位面積的電容量，$W$ 是 通道的寬度，而 $L$ 則是 通道的長度。 圖一     N 通道增強型 MOSFET 在  $V_{GS}$ 為已知時的 $I_D - V_{DS}$  理想特性曲線圖 已知二次函數可寫成 $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=a(x-h)^2+k\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(a \neq 0)$$ 其中的 $(h, k)$ 為此二次函數的頂點座標。 因此，N 通道增強型 MOSFET 在歐姆區操作的 $I_D - V_{DS}$ 特性方程式可寫成 $$I_D = a [\;V_{DS} - (V_{GS} - V_t)\;]^2 + I_{D1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\...

  圖一      RLC 並聯交流電路 如圖ㄧ所示的 RLC 並聯交流電路，其導納 (admittance) $Y(j\omega) = G + \frac {1}{j\omega L}+j\omega C $                                   $ = G + j(\omega C-\frac{1}{\omega L})$               (1)

  $A\;cos\;\omega t+B\;sin\;\omega t$ 可簡化成單一的餘弦函數，此方法稱為 正餘弦函數疊合 ( Superposition of Sine and Cosine Functions ) ，其簡化後的結果如下所示：  $A\;cos\;\omega t+B\;sin\;\omega t = \sqrt{A^2+B^2}\;cos(\omega t-tan^{-1}\frac{B}{A})$ 接下來我們將分別以 標準的三角公式 以及 相量 (phasor) 來推導此公式。 以標準的三角公式推導 $A\;cos\;\omega t+B\;sin\;\omega t $ 可改寫成如下的式子： $$A\;cos\;\omega t+B\;sin\;\omega t =\sqrt{A^2+B^2}\;(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\;cos\;\omega t+\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\;sin\;\omega t)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又已知標準的三角公式， $$cos\;x\;cos\;y+sin\;x\;sin\;y = cos(x-y)$$ 因此，如圖一所示，令 $$cos\;\theta = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}$$ 且 $$sin\;\theta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}$$ 則 $$tan\;\theta = \frac{B}{A}$$ 圖一     鄰邊長度為 A，對邊長度為 B 的直角三角形 所以，式子 (1) 可進一步改寫成 $$A\;cos\;\omega t+B\;sin\;\omega t = \sqrt{A^2+B^2}\;(cos\;\omega t \;cos\;\theta + sin\;\omega t\; sin\;\theta)\;\;\;\;\;\;$$ $$= \sqrt{A^2+B^2}\;cos(\omega t-\theta)\;$$ 其中的  $\theta = tan^{-1}\frac{B}{A}$。 以相量 (Phasor) 推導 由尤拉公式 $$e^{iz}=cos\...

  sine 的三倍角公式如下： $$\sin 3x = 3\sin x-4\sin^3 x$$ 以下將分別以角度加法公式以及尤拉公式推導 sine 的三倍角公式。 以角度加法公式推導 sine 的角度加法公式如下所示： $$\sin (A+B) = \sin A\cos B+\cos A\sin B$$ 所以 $$\sin 3x = \sin (2x+x) = \sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又已知 $$\sin 2x = 2\sin x\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ $$\cos 2x = 1-2\sin^2 x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ 將式子 (2) 與 (3) 代入式子 (1) 可得 $$\sin 3x = (2\sin x\cos x)\cos x+(1-2\sin^2 x)\sin x\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\sin x\cos^2 x+\sin x-2\sin^3 x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$ 又已知 $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$，代入式子 (4)，即可得 $$\sin 3x = 2\sin x-2\sin^3 x+\sin x-2\sin^3 x\;$$ $$=3\sin x-4\sin^3 x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ 以尤拉公式推導 已知尤拉公式 (Euler’s Formula) $$e^{ix} = \cos x+i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$ $$e^{-ix} = \cos x-i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)$$ 其中 $i = \sqrt{-1}$。 由式子 (5) 與 (6) 可得 $$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}...

  常見的 $sine$ 二倍角公式有兩種形式，首先第一種形式 $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ 是基本的形式，而如下所示為另一形式的 sine 二倍角公式，則可由基本形式根據三角函數的性質即可推導出。 $\sin 2x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}$ 以下將分別以角度加法公式以及尤拉公式來推導 sine 的二倍角公式。 以角度加法公式推導 已知 sine 的角度加法公式如下所示： $$\sin (A+B) = \sin A\cos B+\cos A\sin B$$ 所以 $$\sin 2x = \sin (x+x) = \sin x \cos x+\cos x\sin x = 2\sin x\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又式子 (1) 可改寫成 $$\sin 2x =2\sin x\frac{\cos^2 x}{\cos x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;= \cos^2 x\;\left (\frac{2\sin x}{\cos x}\right )$$ $$\;\;\;=\frac{1}{\sec^2 x}(2\tan x)$$ $$=\frac{2\tan x}{\tan^2 x+1}\;\;\;$$ 上面式子的推導使用到的三角函數等式與性質有： $\cos^2 x = \frac{1}{\sec^2 x}$、$\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ 以及 $\sec^2 x = \tan^2 x+1$。 以尤拉公式推導 已知尤拉公式 (Euler's formula) $$e^{ix} = \cos x+i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 且 $$e^{-ix} = \cos x-i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ 其中 $i=\sqrt{-1}$。 由式子 (2) 與 (3) 可得 $$\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\...

cosine 的三倍角公式如下所示： $$\cos 3x = 4\cos^3 x-3\cos x$$ 以下將分別以角度加法公式以及尤拉公式推導 cosine 的三倍角公式。 以角度加法公式推導 $\cos 3x$ 公式 cosine 的角度加法公式如下所示： $$\cos (A+B) = \cos A\cos B-\sin A\sin B$$ 所以 $$\cos 3x = \cos (2x+x) = \cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;  (1)$$ 已知 $$\cos 2x = 2\cos^2 x-1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ $$\sin 2x=2\sin x\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ 將式子 (2) 與 (3) 代入式子 (1) 可得 $$\cos 3x = (2\cos^2 x-1)\cos x-(2\sin x\cos x)\sin x\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$=2\cos^3 x-\cos x-2\sin^2 x\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (4)$$ 又已知  $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ 代入式子 (4)，可得 $$\cos 3x = 2\cos^3 x-\cos x-2(1-\cos^2 x)\cos x$$ $$=4\cos^3 x-3\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$                         以尤拉公式推導  $\cos 3x$ 公式 已知尤拉公式 (Euler’s Formula) $$e^{ix} = \cos x+i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;...

$cosine$ 二倍角公式有幾種形式，首先 $$cos\;2x = cos^2x-sin^2x$$ 是基本的形式，常見的其它形式的 $cosine$ 二倍角公式，可由其基本形式根據三角函數性質即可推導出。如下所示為其它常見的 $cosine$ 二倍角公式： $$cos\;2x = 2\;cos^2x-1$$ $$cos\;2x = 1-2\;sin^2x$$ 以及 $$cos\;2x = \frac{1-tan^2x}{1+tan^2x}$$ 以下將分別以角度加法公式以及尤拉公式推導 $cosine$ 二倍角公式。 以角度加法公式推導 $cosine$ 的角度加法公式如下所示： $$cos(A+B) = cos\;A\;cos\;B-sin\;A\;sin\;B$$ 所以 $$cos\;2x = cos(x+x) = cos\;x\;cos\;x-sin\;x\;sin\;x = cos^2x-sin^2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又已知 $$cos^2x+sin^2x = 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 則由式子 (2) 可知 $$sin^2x = 1-cos^2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ 及 $$cos^2x = 1-sin^2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$ 將式子 (3) 以及式子 (4) 分別代入式子 (1) 就可得到 $$cos\;2x = 2 \;cos^2x-1$$ 且 $$cos\;2x = 1-2\;sin^2x$$ 又式子 (1) 也可改寫成 $$cos\;2x = cos^2x(1-\frac{sin^2x}{cos^2x})$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= cos^2\;x(1-tan^2x)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{sec^2x}(1-tan^2x)$$ $$=\frac{1-tan^2x}{1+tan^2x}$$ 上面式子的推導使用到的性質之一是 $sec^2x = 1+tan^2x$ 等式。 以尤拉公式推導 已知尤拉...

  RLC 電路的 零輸入響應 (zero-input response) 也稱為 自然響應 (natural response)。自然響應指的是初始能量儲存於電路的電感器或電容器中，在沒有外加激勵信號情況下，能量隨時間衰減至零的電路反應。RLC 串聯電路中，電感 L 與 電容 C 是能量儲存元件，進行能量交換時會產生振盪；而電阻 R 則是能量消耗的元件會產生阻尼作用，依其阻值大小有衰減振盪幅度或防止振盪的能力。 RLC 串聯電路的自然響應可分三類：當 $R > 2 \sqrt{\frac{L}{C}}$ 時，被稱為 過阻尼 (overdamped) 響應，此時因電阻值太大，振盪無法產生；當 $R = 2 \sqrt{\frac{L}{C}}$ 時，被稱為 臨界阻尼 (critically damped) 響應，電路處於振盪的臨界點；當 $R < 2 \sqrt{\frac{L}{C}}$ 時，則被稱為 次阻尼 或 欠阻尼 (underdamped) 響應，電路會產生振盪然而振盪幅度會隨時間指數式衰減，直至振盪停止。本文則聚焦在實用性高的零輸入 RLC 串聯電路次阻尼響應 $i(t)$ 以及 $v_C(t)$ 的推導上，後者的推導須用到分部積分 (integration by parts) 的技巧，過程會稍微繁瑣一些。 圖一     RLC 串聯電路在 t = 0 時開關閉合                                                                         $i(t)$ 推導 如圖一所示的 RLC 串聯電路，假設開關的初始狀態為開路，電容器的初始電壓 $v_C(0) = V_0$ 且電感器的初始電流 $i_L(0) = 0$。若當 $t = 0$ 時開關閉合迴路形成，則根據克希荷夫電流定律 (KCL) ...

  Calculation of  the Time Constant in RC and RL Circuits 以下以 RC 與 RL 串聯電路為例，將分別以 SI ( International System of Units ) 國際單位以及其它單位導出 RC 與 RL 電路的時間常數單位： $RC$ 串聯電路的時間常數以 $SI$ 基本單位導出 如上圖所示的 $RC$ 串聯電路，設電容 $C$ 的電壓為 $v_C(t)$，且 $t = 0$ 時， $v_c(0) = 0$，則 $$v_c(t) = V_B(1-e^\frac{-t}{\tau})$$ 其中的 $\tau = RC$，稱為該電路的 時間常數 (Time Constant)。 接下來，我們將說明如何以 $SI$ 基本單位來導出此時間常數的單位。 因為能或功的表示式為 $$W=I^2Rt=FS\;cos\;\theta=maS\;cos\;\theta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(\;\theta \;為力向量\; \vec F \;與位移向量\;\vec S \; 的夾角)$$        可知 $$R=\frac {maS\;cos\;\theta}{I^2t}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 意即電阻 $R$ 的單位若以 $SI$ 基本單位表示，由式子 (1) 知可表示為 $kg\;m^2s^{-3}A^{-2}$。 而已知電容     $$C=\frac {Q}{V}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 意即電容 $C$ 的單位可由電量 $Q$ 與 電壓 $V$ 來決定。其中電量的部分，因為 $Q=It$，所以 $Q$ 的單位若以 $SI$ 基本單位表示，可表示為 $As$。而電壓的部分，因為 $$W=IVt= FS\;cos\;\theta=maS\;cos\;\theta$$ 可知 $$V=\frac{maS\;cos\;\theta}{It}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ 所以電壓 $V$ 的單位若以 $...

  線性 直流網路的最大功率轉移定理 線性直流網路的最大功率轉移定理 (Maximum Power Transfer Theorem) ： 『一負載能自一電動勢 $E_{TH}$ 的雙埠線性直流網路得到最大功率，發生在當其電阻值 $R_L$ 剛好等於該雙埠 線性直流網路從負載端看進去的戴維寧等效電阻 $R_{TH}$ 時， 而其 最大功率值為  $\frac {E_{TH}^2}{4R_{TH}}$。 』 證明 如下圖所示的網路，為一雙端線性直流網路的戴維寧等效電路與負載端的電路，$0< R_L <  \infty$， 可知 $$I=\frac {E_{TH}}{R_{TH}+R_{L}}$$ 所以 $$P_L=I^2R_L=\frac {E_{TH}^2R_L}{(R_{TH}+R_L)^2}$$ 又 $$\frac {dP_L}{dR_L}=\frac {E_{TH}^2(R_{TH}+R_L)^2-E_{TH}^2[2(R_{TH}+R_L)]}{(R_{TH}+R_L)^2}$$ $$=\frac {E_{TH}^2(R_{TH}+R_L)(R_{TH}-R_L)}{(R_{TH}+R_L)^2}\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$=\frac {E_{TH}^2(R_{TH}-R_L)}{(R_{TH}+R_L)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ 令 $\frac {dP_L}{dR_L} = 0$，因為 $E_{TH}^2 \neq 0$，且 $(R_{TH}+R_L)\neq 0$，所以 $R_{TH}-R_L = 0$，即 $$R_L=R_{TH}$$ 為 $P_L(R_L)$ 函數在區間 $(0, \infty )$ 的唯一 臨界值 (Critical Number)。 又 $$\frac {dP_L^2}{dR_L^2}=-E_{TH}^2 < 0 $$ 所以，$P_L(R_L)$ 函數曲線圖為開口向下 (Concave Down) 的曲線。然而，對所有的 $R_L$ 而言， $P_L(R_L)$ 恆大於 0。此外，$R_L\to 0$ 時，$P_L\to 0$，且 $R_L\to \infty$ 時，$P_L\t...

Proof of DeMorgan’s Law 集合代數的第摩根定理： ($a$)    $(x\cup y)^{c} = x^{c}\cap y^{c}$              ($b$)     $(x\cap y)^{c} = x^{c} \cup y^{c}$ 布林代數的第摩根定理： ($a^{'}$)    $(x+y)^{'} = x^{'}·y^{'} $               ($b^{'}$)    $(x·y)^{'} = x^{'}+y^{'} $ 集合代數的第摩根定理，一般可藉由 文氏圖 (Venn Diagrams) 輕易得到證明。本文除了介紹以文氏圖及代數證明集合運算的第摩根定理之外，將以在 $x$ 與 $y$ 為布林代數的二元變數情況下，證明布林代數的第摩根定理。最後並嘗試以真值表搭配 卡諾圖 化簡來提供布林代數的第摩根定理另一種證明方法。 以文氏圖證明集合論的第摩根定理 證明 (a)： 設 $x$ 及 $y$ 為兩相異集合，如下的文氏圖所示： $x\cup y$ $(x\cup y)^c$ 其中的 $(x\cup y)^c$ 為 $(x\cup y)$ 的補集。 $x^c$ $y^c$ $x^c\cap y^c$ 可知 $(x\cup y)^c$ 與 $x^c\cap y^c$ 的圖是一樣的，所以， $$(x\cup y)^c = x^c\cap y^c \;\;\;\;\;\;\;\;\; 得證。$$ 證明 (b)： $(x\cap y)^c$ $x^c$ $y^c$ $x^c\cup y^c$ 可知 $(x\cap y)^c$ 與 $x^c\cup y^c$ 的圖是一樣的，所以 $$(x\cap y)^c = x^c\cup y^c\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 得證。$$ 以代數證明集合論的第摩根定理 證明 (a)： $$\forall \; z \in (x\cup y)^c$$ $$\iff  z \notin (x\cup y)\;\;\;\;\;...